关于多项式指数函数和系数取模

通常用级数定义多项式指数函数$e^x = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}$。但是我突然发现了一个问题，当项数多于模数的时候，$i!$没有意义，因为$0$没有逆元。

怎么解决这个定义上的小问题？我考虑似乎应该在系数取模之前，先对多项式模$x^p$。这样似乎规避了这个问题，但我不清楚这样是否足够完善。