问个数学题

给定 $2n$ 个记号 $x_1,\cdots,x_n$ 和 $x_1^{\prime}\cdots x_n^{\prime}$，规定一个表达式的化简为不断的将 $x_ix_i^{\prime}$ 或者是 $x_i^{\prime}x_i$ 删去，例如

然后变成空串。懂自由群的可以直接认为是自由群的 $n$ 个生成元以及化简规则。

求最短的表达式 $S$ 的长度使得 $S$ 无法被化简为空串，但对于 $1\leq i\leq n$ 将 $S$ 删去所有 $x_i$ 和 $x_i^{\prime}$ 都能化简为空串，以及这么长的合法表达式共有多少个。

比如说当 $n=2$ 时候一个答案为 $x_1x_2x_1^{\prime}x_2^{\prime}$，此时去掉 $x_1$ 和 $x_1^{\prime}$ 为 $x_2x_2^{\prime}$，去掉 $x_2$ 和 $x_2^{\prime}$ 为 $x_1x_1^{\prime}$。