关于一个关于划分的结论的双射证明

定义一个 $n$ 的划分 $\lambda$（记作 $\lambda\vdash n$）是一个正整数的无序列表 $\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{\ell}\}$，其所有元素之和为 $n$。

定义 $f(\lambda)$ 是 $\lambda$ 中“2”的数量，即 $\sum_{i=1}^{\ell}[\lambda_i=2]$。

定义 $g(\lambda)$ 是 $\lambda$ 中恰好只出现一次的元素的数量，即 $\sum_{i=1}^n[1=\sum_{j=1}^{\ell}[\lambda_j=i]]$。

求用双射法证明：