求证明 P15519 的理论

我在做《P15519 [CCC 2016 J2] Magic Squares》，发现了一个奇怪的特性，先看题目。

题目描述

魔方阵是一种数字方阵，其有趣的特性在于：每一列和每一行的数字之和均相等。

给定一个

4 \times 4

的数字方阵，判断它是否为魔方阵。

输出应为 magic（若输入是魔方阵）或 not magic（若输入不是魔方阵）。

但是我一开始交上了这个代码：

CPP

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int a[5][5];
    for(int i=1;i<=4;i++)
    {
        for(int j=1;j<=4;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
//__________________________________________
    int sum=a[1][1]+a[1][2]+a[1][3]+a[1][4];
//__________________________________________
    for(int i=1;i<=4;i++)
    {
        int l=a[i][1]+a[i][2]+a[i][3]+a[i][4];
        if(sum!=l)
        {
            cout<<"not magic";
            return 0;
        }
        else
        {
            sum=l;
        }
    }
//_____________________________________
    sum=a[1][1]+a[2][1]+a[3][1]+a[4][1];
//_____________________________________
    for(int i=1;i<=4;i++)
    {
        int l=a[1][i]+a[2][i]+a[3][i]+a[4][i];
        if(sum!=l)
        {
            cout<<"not magic";
            return 0;
        }
        else
        {
            sum=l;
        }
    }
    cout<<"magic";
    return 0;
}

AC 了，但是我重新读题，就发现了问题。在我代码里注释的部分可以看出，我一开始理解的题目是：每一行之和相等，每一列之和相等，但是不保证行之和与列之和相等。

虽然理解错了题目，但是居然 AC 了。我一开始以为是数据太水了。所以为了打败数据，我让 Deep 帮我以我的思路生成一个数据，保证每一行之和相等，每一列之和相等，行之和与列之和一定不相等。

结果呢？Deep 生成了一堆样例，但是没有一个符合要求，告诉我 “满足前两个条件的矩阵不可能满足第三个条件” ，这就非常 Amazing 了。

但是我是一个蒟蒻，我并不能证明这个结论。

结论：一个

4 \times 4

的数字方阵，如果每一行之和相等，那么若想让每一列之和相等，则每一行之和一定等于每一列之和。

如果有大佬可以证明或者将结论扩展，可以私信或评论，然后顺手拿一个洛谷尔奖。如果无法证明或者能提出反例，说明数据太水了。

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