关于题目方法问题

这道题似乎大家都是这么做数学分析的：

令最大值为$k$

1.$a_i+...+a_{k-1}+a_k+a_{k+1}+...+a_j \le a_k$

2.$a_i+...+a_{k-1}+a_{k+1}+...+a_j \le 0$

得出

3.$a_i+...+a_{k-1} \le 0$

4.$a_{k+1}+...+a_j \le 0$

接下来开始用单调栈维护

我的问题在于：

$a_i+...+a_{k-1} > 0$（比如$5$）

$a_{k+1}+...+a_j \le 0$（比如$-10$）

但和依然$\le 0$，那么算式不应该不成立吗？虽然无法给出一个反例使所有i,j都满足条件，但是否有严格证明呢？