关于集合幂级数

题。
显然这个题是求 $\exp_{\le k}$。
经过一些推式子，最后我们需要求 $[x^S]F^k(x)$。
发现这个东西需要在 $O(n^2 2^n)$ 内求出来，一个想法是先求 $F(x)$ 的 $\ln$ 再 $\exp$ 回去。
然后发现 $[x^{\varnothing}]F(x)=0$，（似乎？）没办法求 $\ln$。
所以有没有什么技巧可以对任意 $F(x)$ 求 $\ln$？或者有其他方法可以在 $O(n^2 2^n)$ 内求出 $F^k(x)$？
想快速幂卡常卡过去结果还是 TLE 555