捞（构造方案 idea 求助，悬 2 关）

给你一个

n\times n

的网格图，初始所有格子全部为白色。你需要选定若干个的格子将它们染黑，然后对于所有白色格子如果它的上下左右有

\ge 3

个格子被染黑那么这个格子也会变黑，一直到不能继续扩散为止。最后需要将所有格子染黑。

请问最少需要染黑多少个格子？并给出构造方案。

目前已知第一问的答案为：

\lceil \frac{n^2+2n+4}3 \rceil & n\text{ is even.}\\ \frac{n^2+2n}3 & n=2^k-1,k\in \N\\ \frac{n^2+2n+1}3+1 & n\equiv5\pmod 6\\ \frac{n^2+2n}3+1 & \text{otherwise.} \end{cases}$$ [Minimum lethal sets in grids and tori under 3-neighbour bootstrap percolation](https://inria.hal.science/hal-04368240v1/document) 对 $n$ 是偶数或 $n=2^k-1$ 或 $n\equiv 5\pmod 6$ 的情况给出了最小需要的数量同时给出了方案，但是对 $n\equiv 1,3\pmod 6$ 且 $n\neq 2^k-1$ 的情况不确定答案是 $\lceil\dfrac{n^2+2n}3\rceil$ 还是 $\lceil\dfrac{n^2+2n}3\rceil+1$。 而 [Extremal Bounds for Three-Neighbour Bootstrap Percolation in Dimensions Two and Three](https://arxiv.org/pdf/2209.07594) 中的 1 Introduction 章节的 Corollary 1.9 证明了 $n\equiv 1,3\pmod 6$ 且 $n\neq 2^k-1$ 的情况的答案为 $\lceil\dfrac{n^2+2n}3\rceil+1$，但是没有给出构造方案（（（ 所以有没有哪位巨佬能搓出这种情况的构造方案？悬 2 关。

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