关于 FWT 的问题

在推导递归式的时候：

求问是怎么推出来的，为什么我推出来（第一个式子）是

\widehat f_{S}^{(i-1)}-\widehat f_{S\cup\{i\}}^{(i-1)}

：

\begin{aligned}\widehat f_{S}^{(i)}&=\sum_{T\oplus S\in U_i}(-1)^{|T\cap S|}f_T\\&=\left(\sum_{T\oplus S\in U_{i-1}}(-1)^{|T\cap S|}f_T\right)+\left(\sum_{(T\oplus\{i\})\oplus S\in U_{i-1}}(-1)^{|T\cap S|}f_T\right)\\&=\left(\sum_{T\oplus S\in\ U_{i-1}}(-1)^{|T\cap S|}f_T\right)-\left(\sum_{T\oplus(\{i\}\cup S)\in U_{i-1}}(-1)^{|T\cap(\{i\}\cup S)|}f_T\right)\\&=\widehat f_{S}^{(i-1)}-\widehat f_{S\cup\{i\}}^{(i-1)}\end{aligned}

讨论操作