对部分题解正确性的疑问

前两篇题解，我不能理解它们的正确性。

举个例子，第一篇题解以下的一句话：

当匹配上前 $i$ 位的时候，方案数是 $\binom{m}{i} (k-1)^{m-i}$ 。

当

i=n

的时候，这个公式就是错误的。

这两篇题解没有解释为什么

i \lt n

的时候这个公式正确。

上述公式我最初的理解是：选出

i

个位置钦定

a

一定匹配在这些位置，然后让其他位置不能产生新的匹配。

但是考虑到同一个

a

序列可能在

b

中存在多次匹配，所以这个理解也是不正确的。

求助大佬们有没有别的理解。

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