研究是否存在两个数使得平方和和平方差均为完全平方数
引理：证明任意的
a2+b2=c2(a,b,c∈R∗)都能表示成下面的形式：
b=m2−n2
c=m2+n2
设这两个数为
a,b(a>=b)平方和为
a2+b2=x2平方差为
a2−b2=y2我们要证明
y2,y2+b2,y2+2b2均为完全平方数
令
y2=r2,y2+b2=s2,y2+2b2=t2假设
r,s,t∈N∗(r<=s<=t)r2,s2,t2为等差数列
∴r2+t2=2s2
当
r2,t2奇偶性不同时$
2s2为奇数，与
s∈N∗矛盾
所以
r2,t2奇偶性相同
所以
r+t,r−t均为偶数
设
r+t=2u,r−t=2v(2u)2+(2v)2=2r2+2t2=4s2
∴u2+v2=s2
又因为
r=u−v,t=u+v所以
r2=(u−v)2,s2=u2+v2,t2=(u+v)2现在要证明
s2−r2=t2−s2=2uv为完全平方数
因为
u2+v2=s2u=p2−q2,v=2pq
2(p2−q2)∗2pq=square
得到
(p+q)(p−q)pq=square令
p′=p/g,q′=q/g(p′−q′)(p′+q′)p′q′也为完全平方数
且
(p′,q′)=1所以
(p′−q′),(p′+q′),p′,q′全部互质
所以
(p′−q′),(p′+q′)也为完全平方数
这就回到我们原来的命题了
可以发现,
p′<a,q′<b,所以原命题无解
证毕。
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