关于题解的小疑问

囧仙的题解中提到 $\psi(n,m,m)$ 为「在 $n\times m$ 的棋盘里用不超过 $c$ 种颜色，有不超过 $m$ 列有颜色，并且有不超过 $n$ 行有颜色」，得到了 $\psi(n,m,c)=(c+1)^{nm}$。

辰星凌的题解中提到 $g(i,j,k)$： 至少有 $i$ 行、$j$ 列一个都没染 且 至少 $k$ 种颜色没使用的方案数。

得到了 $g(i,j,k)$ 等于 $C_{n}^{i}C_{m}^{j}C_{c}^{k}(c-k+1)^{(n-i)(m-j)}$ 。

请问一下为什么上面的题解中为什么不用乘几个二项式，或者说下面的题解中为什么要乘几个二项式呢？