求助一道初中几何题

如图，正方形 ABCD 的边长为 4,E 是线段 CD 上一动点，过点 D 作 AE 的垂线交 BC 于点 F，垂足为点 G，以 AG 为斜边向下作等腰直角三角形 AHG，连 BH，以 BH 为一边向右作正三角形 BHM，连 AM，求 $\frac{AH}{AM}$ 的最大值。

这道题是昨天下午我数学老师拿给我和我左边看的，她说她不会让我们看一下。然后我们胡了一个答案上去，猜测 E 与 C 重合时 $\frac{AH}{AM}$ 最大。刚才用 GeoGebra 验证了，是错的，正确答案貌似约为 0.6？