求构造题做法/原

给定

m

，我们定义一个元素是指

[l,r]

，其中

0 \le l,r <m

且

r \neq (l+1) \bmod m

，特别地，有一个元素是空，用符号

\varnothing

表示。我们把所有元素的集合称作

S

。

定义一种运算

+

。

[l_1,r_1]+[l_2,r_2]=[l_1,(r_1+r_2-l_2+1) \bmod m]

，特别地，

[l,r]+\varnothing=\varnothing+[l,r]=[l,r]

。这样一来，

\varnothing

可以在参与

+

运算时看作

[k,(k+m-1) \bmod m]

，其中

0 \le k<m

。

可以证明：

这种运算有单位元 $\varnothing$ 。
这种运算对 $S$ 封闭。
$[l,r]$ 存在逆元 $[(r+1) \bmod m,(l+m-1) \bmod m]$ ， $\varnothing$ 的逆元是 $\varnothing$ 。
运算具有结合律。即 $[l_1,r_1]+[l_2,r_2]+[l_3,r_3]=[l_1,(r_1+r_2+r_3-l_2-l_3+2) \bmod m]=[l_1,r_1]+([l_2,r_2]+[l_3,r_3])$ 。

求构造一种运算

\times

或说明其不存在，满足：

如果题目出现问题，我会在讨论区补充。求此构造题的做法或原题。

举例子：对于

m=3

，有以下元素：

\varnothing,[0,0],[0,1],[1,1],[1,2],[2,0],[2,2]

。加法表如下：

$a+b$	$\varnothing$	$[0,0]$	$[0,1]$	$[1,1]$	$[1,2]$	$[2,0]$	$[2,2]$
$\varnothing$	$\varnothing$	$[0,0]$	$[0,1]$	$[0,0]$	$[0,1]$	$[0,1]$	$[0,0]$
$[0,0]$	$[0,0]$	$[0,1]$	$\varnothing$	$[0,1]$	$\varnothing$	$\varnothing$	$[0,1]$
$[0,1]$	$[0,1]$	$\varnothing$	$[0,0]$	$\varnothing$	$[0,0]$	$[0,0]$	$\varnothing$
$[1,1]$	$[1,1]$	$[1,2]$	$\varnothing$	$[1,2]$	$\varnothing$	$\varnothing$	$[1,2]$
$[1,2]$	$[1,2]$	$\varnothing$	$[1,1]$	$\varnothing$	$[1,1]$	$[1,1]$	$\varnothing$
$[2,0]$	$[2,0]$	$\varnothing$	$[2,2]$	$\varnothing$	$[2,2]$	$[2,2]$	$\varnothing$
$[2,2]$	$[2,2]$	$[2,0]$	$\varnothing$	$[2,0]$	$\varnothing$	$\varnothing$	$[2,0]$

注意上述逆元可以不唯一。

讨论操作