大佬们的矩阵是什么样的？

rt，鄙人的矩阵有 $8$ 倍大常数：设 $f_{i, j}$ 表示 $i$ 个串，且第 $i$ 个串有 $j$ 个 $1$ 的方案数，有转移方程：

于是我的向量长度为 $2n$：当前进行到 $i$ 阶段，前 $n$ 个存 $S_{i, j} = \sum_{k = 0}^j f_{i, k}$，后 $n$ 个存 $P_{i, j} = \sum_{u = 0}^i S_{u, j}$（统计答案用）。但是这样矩乘就会有 $8$ 倍巨大常数，导致了 $24$ 的惨剧。看评论区的大佬们都是 $0 \to m$ 或 $0 \to n$，就想问问大佬们的矩阵是怎么构造的。