SH预初题目求解

rt，题目如下：

有一个教室用边长 $x$ cm 的地砖铺，可以铺 $n$ 块没有剩余。用边长 $y$ cm 的地砖铺，比上一种方案多用 $124$ 块地砖没有剩余。$n$、$x$、$y$ 均为整数。设自然数 $m$ 满足 $m^2=n$，求 $m$。

我的思路：

根据题目，列出方程 $x^2m^2=y^2(m^2+124)$，两边同时开平方得到 $xm= \pm y \sqrt{m^2+124}$。因为面积为整数，所以 $m^2+124$ 是一个完平。令 $m^2+124=k^2$，可得 $(k+m)(k-m)=124$。因为 $m$ 为自然数，所以只能是 $k+m=62$，$k-m=2$。最后得出 $m=30$。

自认为没问题，结果答案漏了 $31$ 和 $9$。哪位大佬能解释一下？