社区讨论

【求助】关于一个数学问题

GGZXUEXUE
学术版参与者 12已保存回复 14

讨论操作

快速查看讨论及其快照的属性，并进行相关操作。

当前回复
14 条
当前快照
1 份
快照标识符
@mhjasnzo
此快照首次捕获于
2025/11/03 23:31
4 个月前
此快照最后确认于
2025/11/04 06:06
4 个月前
查看原帖
RT。刚刚突然想到的一个问题：
对于所有的 n,m(n∈Z+,n≥2,m∈Z)n,m\hspace{1mm}(n \in \mathbb{Z}^+,n \ge 2,m \in \mathbb{Z})，是否都有
n0+n1+n2+⋯+nm=nm+1−1n−1.n^0 + n^1 + n^2 + \dots + n^m = \dfrac{n^{m + 1} - 1}{n - 1}.
我想到的证明方法如下：
n0+n1+n2+⋯+nm=(111…1⏟共m位)n=(n−1n−1n−1n−1…n−1‾⏟共m位)nn−1=(1000…0⏟共m位)nn−1=nm+1−1n−1\normalsize{ \begin{matrix} & n^0 + n^1 + n^2 + \dots + n^m \\ = & \left(\small{\begin{matrix}\underbrace{111\dots1}\\\text{共}m\text{位} \end{matrix}}\right)_n \\ = & \dfrac{\left(\small{\begin{matrix}\underbrace{\overline{n-1\hspace{1mm}n-1\hspace{1mm}n-1\hspace{1mm}n-1\dots n-1}}\\\text{共}m\text{位} \end{matrix}}\right)_n}{n - 1} \\ = & \dfrac{\left(\small{\begin{matrix}1\underbrace{000\dots0}\\\text{共}m\text{位} \end{matrix}}\right)_n}{n - 1} \\ = & \dfrac{n^{m + 1} - 1}{n - 1} \end{matrix} }
其中 (… )n(\dots)_n 表示 nn 进制下的 …\dots。
本人很菜，勿喷。wgzs。感谢解答。

回复

共 14 条回复，欢迎继续交流。

正在加载回复...