AA树性质求助

我同学注意到AA树的一个性质：

假设需要在平衡树上维护这样一种信息：维护结点 $u$ 的信息需要 $O(siz_u)$ 的时间，其中 $siz_u$ 是结点 $u$ 所在的子树大小，一个信息需要维护当且仅当其所在子树的结点集合发生变化。例如，每个结点上有一个线段，每个结点上的信息是其所在子树的所有线段构成的李超线段树。

对于一颗空的AA树，插入 $n$ 个结点并维护这样的信息，总的时间复杂度是 $O(n\log n)$。