正确性证明

观察到一种人类智慧做法，在此对之正确性进行证明。

只考虑前 $l$ 大的互不相同的数作为模数（$l$ 为常数）的情况，这一部分一定能够得出最优解。

此做法成立的充分条件是：

考虑证明上述结论。采用反证法。

假设对于任意 $i,j,k$ 都有 $(a_i+a_j)\mod a_k< a_l$。

发现，对于任意 $i,j$，都有 $a_1 \le a_i+a_j$。否则，若 $a_1 > a_i + a_j$，则 $(a_i+a_j)\mod a_1=a_i+a_j > a_l$，矛盾。

也就是说，$a_1,a_2,...,a_{l-1}$ 必须全部大于等于 $\frac{a_1}{2}$。

那么我们可以得出，$\forall i\in [1,l-3]$，都有 $(a_{i+1}+a_{i+2})\mod a_i=a_{i+1}+a_{i+2}-a_i< a_l$。

令 $b_i=a_i-a_l$，则 $b_{i+1}+b_{i+2}< b_i$。那么，也有 $b_i > 2b_{i+2}$。

若取 $l = 100$ 则有 $b_1 > 2^{48}\times b_{l-3}\ge 2^{48}$，显然已经远远超出值域 $10^8$。矛盾！

所以原命题成立，此做法正确性得证。

证毕。