问完全集可数性

显然 $P$ 是无限的。如果 $P$ 可数，那么令 $P=:\{x_i\}_{i=1}^\infty$。接下来将构造出一个邻域序列 $\{B(x_i,r_i)\}_{i=1}^\infty$ 使得 $B(x_i,r_i)\cap P$ 非空，然后说明矛盾。

首先，令 $r_1\coloneqq1$。假设前 $n$ 个邻域已经完成构造。在 $B(x_n,r_n)$ 之内，$\{x_i:i\le n\}$ 之外选出一个点，称其为 $x_{n+1}$。显然必存在一个 $r_{n+1}>0$ 使得：

• $\overline{B(x_{n+1},r_{n+1})}\subseteq B(x_n,r_n)$
• $x_n\notin\overline{B(x_{n+1},r_{n+1})}$
• $B(x_{n+1},r_{n+1})\cap P$ 非空

其中，第三条使得这个构造可以递归下去。

考虑序列 $\{K_i\coloneqq\overline{B(x_i,r_i)}\cap P\}_{i=1}^\infty$，那么对于任意的 $i$，$K_i$ 是紧的（$\overline{B(x_i,r_i)}$ 闭且有界所以是紧的，$P$ 又是闭的）且 $K_i\supseteq K_{i+1}$，以及 $K_i$ 非空。由紧集的性质，$\bigcap_{i=1}^\infty K_i$ 非空。

但是，有哪个点可以包含在其中呢？由于 $x_i\notin\overline{B(x_{i+1},r_{i+1})}$，所以 $P$ 中没有点可以属于那个集合中，矛盾。