关于昨夜CFDiv2 D的疑问

本人在赛时通过猜出某结论通过了这道题目(CF div2 D)，但是目前翻阅题解也未能证明这个猜想，希望有dalao证明或证伪

结论如下：

定义一轮操作为取出当前所有子树的直径并删除，每次操作后会产生更多子树

在进行至多$\log_2(n)$轮操作后，此树可以删完（$n$ 为树的节点数）

感谢帮助