关于这题的正确性

这道题真的是正确的吗？题解里面给出了方案总数的都是$2^{2n-2}$，但是前2n-2个显然不可能每个位置都是互不影响地有0，1两种取法，$2^{2n-2}$这个方案总数就包含了例如全都是0的这种不在题意规定范围内的情况。

正确的解是不是应该是，假定有$2n$个球由于最后两个要同色，我们反着从最后两个球不同色的情况考虑。对于前$2n-2$个球我们挑选$n-1$个染成黑色，对于最后两个球可以是黑白和白黑两种情况，所以分子是$2*C_{2n-2}^{n-1}$，分子即$2n$个球挑$n$个染成黑色，即$C_{2n}^{n}$，然后所求概率即$1 - \frac{2*C_{2n-2}^{n-1}}{C_{2n}^{n}}$，化简后得$\frac{n-1}{2n-1}$

但是这样样例根本不对，还是说我对于题意理解有问题