关于“至少”和“钦定”

注：我很弱智，轻喷

发现自己对“至少”和“钦定”的理解有问题，有没有大神来细说一下 orz

在 P5505 这个题的题解区中，大多数题解都说的是“定义 $f_i$ 为至少 $i$ 个人没有分到特产的方案数”，但（按照我的理解）这样定义的话就不应该出现“一个方案被计算多次”的情况，比如 ABC 三个人，那恰好有 $2$ 个人没分到的方案就会在 $f_1$ 中计算 $2$ 次。而按照“至少”的定义就应该只计算方案数，但就不符合后面的式子了

所以（我个人认为）更准确的表述应该是“钦定 $i$ 个人没有分到特产”，这样才符合那个式子（？

又或者说“至少”本来就能表示“钦定”的含义？不是很懂