题目翻译一则

蛇形数组是指一个由数字 $\{1,2,...,n\}$ 组成的长度为 $n$ 的排列 $(x_1,x_2,...,x_n)$ 且满足 $x_1<x_2>x_3<x_4>...$。

例如：

$n=2$，只存在 $1<2$ ，共 $1$ 个。

$n=3$，$\left.\begin{matrix}1<3>2\\2<3>1\end{matrix}\right\}共2个$。

$n=4$，$\left.\begin{matrix}1<3>2<4\\1<4>2<3\\2<3>1<4\\2<4>1<3\\3<4>1<2\end{matrix}\right\}共5个$。

求长度为 $10$ 的蛇形数组有多少个？

推广：求长度为 $n$ 的蛇形数组有多少个？

译者：smart_kai。

译自：《Lectures and Problems: A Gift to Young Mathematicians》Part 4: Problems for Children 5 to 15 Years Old 第 49 题。