奖励：纯粹通过生成函数来解决问题。

我们发现根的区间必须完全包含于子孙的区间或者与其不交，因此只考虑这颗子树内的相对大小时，根的区间形如 $[i,i+1]$。

因此一棵树的答案是 $\frac{(2n)!}{2^{n}\prod s_i}$。

直接生成函数，有 $\frac{df}{dx}=e^f+(y-1)$。

这里 $y$ 表示叶子的个数，$x$ 表示总结点数，我们要求的答案是 $\frac{(2n)!n!}{n2^n}[x^ny^k]f$。

为了方便起见，下面都用 $f'$ 表示 $\frac{df}{dx}$。

设 $g=e^{-f}$，那么有

设 $h=e^{(y-1)x}g$，那么有

这里 $h$ 的常数项为 $1$，因此 $C=-\frac{y}{1-y}$

然后就可以 $O(n)$ 预处理 $O(k\log_k n)$ 计算答案，或者 $O(n\log n)$ 计算一行答案。

upd：好像也不需要 $O(n)$ 预处理。