平面几何题建系：从入门到“已弃用”

前言

怎么建系

1. 纯几何法不太好用。
2. 有明显的 $90°$ 角或者可以作垂线。
3. 要求线段的长度或者线段的等量关系。

从线开始

如图，E 是正方形 $ABCD$ 的边 $CD$ 上一点，把 $\triangle ADE$ 旋转到 $\triangle ABF$ 的位置。求证 $\triangle AEF$ 是等腰直角三角形。

解法

建立如图所示的平面直角坐标系：

因为旋转，所以 $AF=AE$ ，即 $\triangle AEF$ 是等腰三角形。

由于题面并未给出正方形 $ABCD$ 的边长，不妨设为 $1$ ，可以得到：

$$A(0, 1) \\ C(1, 0) \\ D(1, 1) \\$$

因为 $E$ 点是动点，因此把它设为 $E(1,k)$。
所以：$FB=ED=1-k$，即：$F(k-1,0)$

然后解出直线 $AF$ 和 $AE$ 的解析式：

$$AF: y=\frac{1}{1-k}x+1 \\ AE: y=(k-1)x+1$$

又因为 $\frac{1}{1-k}×(k-1)=-1$ ，所以直线 $AF$ 和 $AE$ 的斜率相乘为 $-1$ ，即：$AF ⊥ AE$ 。

所以 $\triangle AEF$ 是等腰直角三角形。

构造直角

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$BC=a$ ， $AC=b$ ， $AB=c$ ，$CD$ 是 $AB$ 边的中线，在 $\triangle ABC$ 中，用 $a,b,c$ 表示 $CD^2$

解法

作 $CE ⊥ AB$ ，再建立如图所示的平面直角坐标系：

不妨设 $CE$ 长为 $1$ ，可以得到： $C(0,1)$ ；
设 $A(m,0)$ ， $B(n,0)$，则 $D(\frac{m+n}{2},0)$ 用勾股定理得：

$$a^2 = n^2+1 \\ b^2 = m^2+1 \\ c^2 = (n-m)^2 = n^2+m^2-2mn$$

所以：

$$\begin{aligned} CD^2 &= (\frac{m+n}{2})^2 + 1 \\ &= \frac{n^2+m^2+2mn}{4} + 1 \\ &= \frac{c^2+4mn}{4} + 1 \\ \end{aligned}$$

又因为：

$$n^2+m^2 = a^2+b^2-2$$

所以：

$$c^2 = a^2+b^2-2mn-2$$

即：

$$2mn = a^2+b^2-c^2-2$$

代入可得：

$$\begin{aligned} CD^2 &= \frac{c^2+4mn}{4} + 1 \\ &= \frac{c^2+2a^2+2b^2-2c^2-4}{4} + 1 \\ &= \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} \\ \end{aligned}$$

所以答案就是：

$$CD^2 = \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$$

处理等角

如图 $\triangle ADE$ 由 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ 得到，且 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $BC$ 的延长线上， $AD$ 与 $EC$ 相交于点 $P$ ， 点 $F$ 是 $EC$ 延长线上一点，且 $∠CDF=∠DAC$ ，求 $DF$ 与 $PF$ 的数量关系。

解法

建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设 $AB = 1$ ，易得：

$$B(1,0)\\ D(0,1)\\$$

所以：

$$BD: y = -x + 1$$

因为 $C$ 在 $BD$ 上，设 $C(k, -k+1)$ ，不难得到： $E(k-1, k)$

所以：

$$EF: y = (-2k+1)x + 2k^2-2k+1$$

然后似乎就难以为继了，但是我们还有一个条件 $∠CDF=∠DAC$ 没用，考虑三角函数。

不难得到：

$$\tan ∠CDF = \frac{k}{-k+1}$$

再求出直线 $DF$ 的斜率（也就是和 $x$ 轴夹角的 $\tan$ 值，记为 $m$），使用和角公式：

$$\begin{aligned} m &= \tan (∠CDF-45°) \\ &= \frac{\tan ∠CDF-\tan 45°}{1+\tan ∠CDF\tan 45°} \\ &= \frac{\frac{k}{-k+1}-1}{1+\frac{k}{-k+1}} \\ &= \frac{k+k-1}{-k+1+k} \\ &= 2k-1 \end{aligned}$$

所以：

$DF:y=(2k-1)x+1$

联立，求个交点：

$$F(\frac{k^2-k}{2k-1}, k^2-k+1) \\ P(0, 2k^2-2k+1)$$

再用勾股定理：

$$DF^2 = (\frac{k^2-k}{2k-1})^2 + (k^2-k)^2 \\ \begin{aligned} PF^2 &= (\frac{k^2-k}{2k-1})^2 + (k^2-k -2k^2+2k)^2 \\ &= (\frac{k^2-k}{2k-1})^2 + (k^2-k)^2 \end{aligned}$$

所以：$DF^2 = PF^2$
所以：$DF = PF$

得证。

总结

有些人把高级的数据结构学傻了，连差分这种东西都要拿线段树写。