P1352 没有上司的舞会

题目描述

输入输出格式

• 输入：
  • 第一行是一个整数 n，表示职员数量。
  • 接下来的 n 行，每行一个整数，表示每个职员的快乐指数 r_i。
  • 接下来的 n-1 行，每行两个整数 l 和 k，表示 k 是 l 的直接上司。
• 输出：
  • 输出一个整数，表示最大的快乐指数。

解题思路

1. 树的构建：
   • 使用邻接表来存储树结构。读取每对 (l, k)，表示 k 是 l 的直接上司，将 l 添加到 k 的子节点列表中。
2. 动态规划定义：
   • 定义 dp[x][0] 表示以 x 为根的子树中，x 不参加舞会时的最大快乐值。
   • 定义 dp[x][1] 表示以 x 为根的子树中，x 参加舞会时的最大快乐值。
3. 状态转移方程：
   • 如果 x 不参加舞会，那么它的子节点可以自由选择是否参加舞会： $$dp[x][0] = \sum_{\text{son}(x)} \max(dp[\text{son}(x)][0], dp[\text{son}(x)][1])$$
   • 如果 x 参加舞会，那么它的所有子节点都不能参加舞会： $$dp[x][1] = r[x] + \sum_{\text{son}(x)} dp[\text{son}(x)][0]$$
4. 递归计算：
   • 使用深度优先搜索（DFS）从根节点开始递归计算 dp 数组。对于每个节点 x，先递归计算其所有子节点的 dp 值，然后根据状态转移方程更新 dp[x][0] 和 dp[x][1]。
5. 结果输出：
   • 最终结果为 max(dp[root][0], dp[root][1])，即根节点不参加或参加舞会的最大快乐值。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 6010;
vector<int> son[MAXN];
int dp[MAXN][2], h[MAXN], n;

void dfs(int x) {
    dp[x][0] = 0;
    dp[x][1] = h[x];
    for (int i = 0; i < son[x].size(); i++) {
        int y = son[x][i];
        dfs(y);
        dp[x][0] += max(dp[y][0], dp[y][1]);
        dp[x][1] += dp[y][0];
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> h[i];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        son[y].push_back(x);
    }
    dfs(1); // 假设 1 是根节点
    cout << max(dp[1][0], dp[1][1]) << endl;
    return 0;
}