线性基总结

概念

• 我们只关心非 $0$ 异或和。
• 一个线性空间可能有多组线性基。

性质

• 对于数集 $A$ 若有 $a,b\in A$
  则用 $a\oplus b$ 替换 $a,b$ 不会影响异或线性空间的组成。
  证明

  如果把 $a$ 换成了 $a\oplus b$ ，则可以把 $b\oplus (a\oplus b)$ 当作 $a$ 使用。

  换 $b$ 同理，即得证。
• 对于数集 $A$ 若有 $a,b\in A,~a\oplus b=0$ ，
  则任意删去 $a,b$ 中的一个不会影响异或线性空间的组成。
  证明

  显然此时 $a=b$ ，易证。
  扩展

  进一步地，对于数集 $A$ 。

  若有数集 $B\subset A$ ，且有 $\oplus x\in B=0$ ，

  则任意删去 $B$ 其中的一个元素不影响 $A$ 的异或线性空间组成。

  证明

  显然删去的这个元素可以有 $B$ 集中其他元素异或得到，

  故是否存在不影响异或空间，得证。