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高考圆锥曲线常见二级结论

sshinzAnmonoszm 妹妹
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2025/12/02 19:47
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序言

圆锥曲线题在高考占比不小，且计算量很大，如果可以熟记更多二级结论，会有效地减少做题时间。
本文中所有例题建议深度思考后再看解析。

圆锥曲线第二定义

事实上，任意圆锥曲线均有准线的定义。对于焦点在 xx 轴的椭圆和双曲线，其准线为 x=±a2cx=\pm \frac{a^2}{c}。
定义圆锥曲线为到焦点 FF 和准线 ll 的距离的比为定值 ee 的点组成的图形。其中称 ee 为曲线的离心率。
使用这个方法可以快速地求解圆锥曲线的方程。

圆锥曲线硬解定理

联立是大部分圆锥曲线题的必要操作，联立后得到的韦达定理，判别式，弦长公式等都可以减少计算量。
对于曲线 Γ:x2m+y2n=1\Gamma: \frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1 和直线 l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0，若其交于 E,FE,F 两点。联立后的方程为：
(A2m+B2n)x2+2ACmx+m(C2−B2n)=0Δx=4B2mn(A2m+B2n−C2)(A2m+B2n)y2+2BCny+n(C2−A2m)=0Δy=4A2mn(A2m+B2n−C2)∣EF∣=(A2+B2)Δx∣B(A2m+B2n)∣\begin{aligned} &(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+m(C^2-B^2n)=0\\ &\Delta_x=4B^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\ &(A^2m+B^2n)y^2+2BCny+n(C^2-A^2m)=0\\ &\Delta_y=4A^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\ &|EF|=\frac{\sqrt{(A^2+B^2)\Delta_x}}{|B(A^2m+B^2n)|} \end{aligned}
注意，解答题的过程应该这样写
联立 {x2m+y2n=1Ax+By+C=0\displaystyle\left\{\begin{aligned}&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\\&Ax+By+C=0\end{aligned}\right. 得：
(A2m+B2n)x2+2ACmx+m(C2−B2n)=0Δ=4B2mn(A2m+B2n−C2)(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+m(C^2-B^2n)=0\\ \Delta=4B^2mn(A^2m+B^2n-C^2)\\
由韦达定理 x1+x2=−2ACmA2m+B2n,x1x2=m(C2−Bn)A2m+B2nx_1+x_2=-\frac{2ACm}{A^2m+B^2n},x_1x_2=\frac{m(C^2-B^n)}{A^2m+B^2n}。∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}，将 x1+x2x_1+x_2 和 x1x2x_1x_2 代入得 ∣x1−x2∣=Δ∣A2m+B2n∣|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{|A^2m+B^2n|}。
∣EF∣=1+(AB)2∣x1−x2∣=(A2+B2)Δ∣B(A2m+B2n)∣|EF|=\sqrt{1+\left(\frac{A}{B}\right)^2}|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{(A^2+B^2)\Delta}}{|B(A^2m+B^2n)|}。

圆锥曲线参数方程

  • 椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 的参数方程：{x=acos⁡θy=bsin⁡θ\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=a\cos\theta\\&y=b\sin \theta\end{aligned}\right.
  • 双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 的参数方程：{x=asec⁡θy=btan⁡θ\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=a\sec\theta\\&y=b\tan\theta\end{aligned}\right.
  • 抛物线 y2=2pxy^2=2px 的参数方程：{x=2pt2y=2pt\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=2pt^2\\&y=2pt\end{aligned}\right.
通过参数方程，我们可以更快地进行设点等操作。

圆锥曲线第三定义

平面内动点 PP 与定点 A1(−a,0),A2(a,0)A_1(-a,0),A_2(a,0) 所成的直线的斜率乘积为 e2−1e^2-1 的轨迹即为椭圆，圆或双曲线。其中 ee 为圆锥曲线的离心率。设 K=kPA1kPA2K=k_{PA_1}k_{PA_2}，则 K=−1K=-1 时为圆，K∈(−1,0)K\in (-1,0) 时为椭圆，K∈(0,+∞)K\in (0,+\infty) 时为双曲线。

中点弦相关

椭圆

设焦点在 xx 轴上的椭圆的弦 ABAB 的中点为 CC，若 kAB,kOCk_{AB},k_{OC} 存在，则 kABkOC=−b2a2k_{AB}k_{OC}=-\frac{b^2}{a^2}。

双曲线

设焦点在 xx 轴上的双曲线的弦 ABAB 的中点为 CC，若 kAB,kOCk_{AB},k_{OC} 存在，则 kABkOC=b2a2k_{AB}k_{OC}=\frac{b^2}{a^2}。

抛物线

设弦 ABAB 的中点为 C(x0,y0)C(x_0,y_0)，若 kABk_{AB} 存在，则 y0kAB=py_0k_{AB}=p

焦半径和焦点弦相关

焦半径公式坐标式

设 A(x0,y0)A(x_0,y_0) 是左右焦点分别为 FF 的圆锥曲线的上任意一点，则 ∣AF∣=∣a±ex0∣|AF|=|a\pm ex_0|，其中中间的正负号要根据焦半径的长度来选择。具体地，有：
  • 对于左右焦点分别为 F1,F2F_1,F_2 的椭圆，∣AF1∣=a+ex0,∣AF2∣=a−ex0|AF_1|=a+ex_0, |AF_2|=a-ex_0。
  • 对于左右焦点分别为 F1,F2F_1,F_2 的双曲线，若 AA 在双曲线的左支上，则 ∣AF1∣=−a−ex0，∣AF2∣=a−ex0|AF_1|=-a-ex_0，|AF_2|=a-ex_0；若 AA 在双曲线的右支上，则 ∣AF1∣=a+ex0,∣AF2∣=−a+ex0|AF_1|=a+ex_0,|AF_2|=-a+ex_0。

焦半径公式倾斜角式

设 pp 为圆锥曲线的焦准距（对于椭圆和双曲线，其为 b2c\frac{b^2}{c}），设 AA 是（左）焦点为 FF 圆锥曲线（同支）的上任意一点，设 AF→\overrightarrow{AF} 与 xx 轴的夹角为 θ\theta，则 ∣AF∣=ep1±ecos⁡θ|AF|=\frac{ep}{1\pm e\cos\theta}，其中中间的正负号要根据焦半径的长度来选择。
由此公式推知下列公式。

椭圆

设过椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 左焦点的直线 ll 与 Γ\Gamma 交于 A,BA,B 两点（AA 在 BB 的上方），ll 的倾斜角为 θ\theta，则：
  • ∣AF∣=b2a−ccos⁡θ,∣BF∣=b2a+ccos⁡θ,∣AB∣=2ab2a2−c2cos⁡2θ|AF|=\frac{b^2}{a-c\cos \theta}, |BF|=\frac{b^2}{a+c\cos\theta},|AB|=\frac{2ab^2}{a^2-c^2\cos^2\theta}。
  • 1∣AF∣+1∣BF∣=2ab2\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2a}{b^2}
  • 设 λ=∣AF∣∣BF∣\lambda=\frac{|AF|}{|BF|}，则 ecos⁡θ=λ−1λ+1e\cos \theta=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}

抛物线

设过抛物线 Γ:y2=2px(p>0)\Gamma: y^2=2px (p>0) 焦点 FF 的直线 ll 与抛物线交于 A,BA,B 两点（AA 在 BB 的上方），直线 ll 的倾斜角为 θ\theta，设 A,BA,B 在准线上的投影为 A′,B′A',B'，则：
  • ∣AF∣=p1−cos⁡θ,∣BF∣=p1+cos⁡θ,∣AB∣=2p1−cos⁡2θ=2psin⁡2θ|AF|=\frac{p}{1-\cos \theta},|BF|=\frac{p}{1+\cos \theta},|AB|=\frac{2p}{1-\cos^2\theta}=\frac{2p}{\sin^2\theta}
  • 1∣AF∣+1∣BF∣=2p\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}
  • 设 λ=∣AF∣∣BF∣\lambda=\frac{|AF|}{|BF|}，则 cos⁡θ=λ−1λ+1\cos \theta=\frac{\lambda-1}{\lambda+1}
  • S△OAB=p22sin⁡θS_{\triangle OAB}=\frac{p^2}{2\sin\theta}
  • 以 AF,BFAF,BF 为直径的圆与 yy 轴相切。以 ABAB 为直径的圆与准线相切。以 A′B′A'B' 为直径的圆与直线 ABAB 相切，切点为 FF
  • A′,O,BA',O,B 三点共线，B′,O,AB',O,A 三点共线
  • SAA′B′B=2p2sin⁡3θS_{AA'B'B}=\frac{2p^2}{\sin^3\theta}
  • 设 MM 为线段 A′B′A'B' 中点，则直线 AM,BMAM,BM 为抛物线切线，且 AMAM 平分 ∠A′AB\angle A'AB，BMBM 平分 ∠B′BA\angle B'BA
  • 直线 AM,FA′AM,FA' 与 yy 轴三线共点

焦点三角形相关

椭圆

设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 的焦点为 F1,F2F_1,F_2，对于椭圆上异于长轴端点的点 PP，设 ∠F1PF2=θ\angle F_1PF_2=\theta，其余两角分别为 α,β\alpha,\beta，有如下结论：
  • S△F1PF2=b2tan⁡θ2S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\tan\frac{\theta}{2}
  • e=sin⁡θsin⁡α+sin⁡β=cos⁡α+β2cos⁡α−β2e=\frac{\sin \theta}{\sin\alpha+\sin \beta}=\frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}
  • △F1PF2\triangle F_1PF_2 的内接圆圆心的轨迹为椭圆 x2c2+y2c21−ee+1=1\frac{x^2}{c^2}+\frac{y^2}{c^2\frac{1-e}{e+1}}=1。

双曲线

设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 的焦点为 F1,F2F_1,F_2，对于椭圆上异于长轴端点的点 PP，设 ∠F1PF2=θ\angle F_1PF_2=\theta，其余两角分别为 α,β\alpha,\beta，有如下结论：
  • S△F1PF2=b2cot⁡θ2S_{\triangle F_1PF_2}=b^2\cot\frac{\theta}{2}
  • e=sin⁡θ∣sin⁡α−sin⁡β∣=sin⁡α+β2∣sin⁡α−β2∣e=\frac{\sin \theta}{|\sin\alpha-\sin \beta|}=\frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\left|\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right|}
  • △F1PF2\triangle F_1PF_2 的内接圆圆心的轨迹为两条直线，若 PP 在双曲线右支，则轨迹为直线 x=ax=a，若 PP 在双曲线左支，则轨迹为直线 x=−ax=-a。
已知 F1,F2F_1,F_2 分别为双曲线 x2−y23=1x^2-\frac{y^2}{3}=1 的左右焦点，过 F2F_2 的直线与双曲线的右支交于 A,BA,B两点，记 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的内切圆 O1O_1 的面积为 S1S_1，△BF1F2\triangle BF_1F_2 的内切圆 O2O_2 的面积为 S2S_2，求 S1+S2S_1+S_2 的取值范围。
解法
O1(1,y1),O2(1,y2)(y1>y2)O_1(1,y_1),O_2(1,y_2)(y_1>y_2)，直线的方程为 x−ky−2=0x-ky-2=0，显然 O1,O2O_1,O_2 在直线左侧，则 y1=ky1−1k2+1,y2=ky2−1k2+1y_1=\frac{ky_1-1}{\sqrt{k^2+1}},y_2=\frac{ky_2-1}{\sqrt{k^2+1}}，其均满足 y2=(ky−1)2k2+1y^2=\frac{(ky-1)^2}{k^2+1}，即其为方程 y2+2ky−1y_2+2ky-1 的两根，y1+y2=−2k,y1y2=−1y_1+y_2=-2k,y_1y_2=-1，y12+y22=4k2+2y_1^2+y_2^2=4k^2+2，k∈(−33,33)k\in \left(-\frac{\sqrt3}{3},\frac{\sqrt3}{3}\right)，而 ⊙O1\odot O_1 与 ⊙O2\odot O_2 半径为 y1,y2y_1,y_2，即 S1+S2=π(y12+y22)S_1+S_2=\pi(y_1^2+y_2^2)，其取值范围为 [2π,103π)\left[2\pi,\frac{10}{3}\pi\right)。

仿射结论

仿射变换有如下重要结论：
  • 直线间的位置关系不会改变，即平行直线仍然平行，相交直线仍然相交（注意，垂直关系会被破坏）
  • 各个线段的长度比，各个图形的面积比均不变。
不妨让椭圆通过仿射变为单位圆。这样会有效地简化问题。
Warning
部分地区使用仿射方法可能会扣分，请了解所在地区相关政策后再在解答题中使用。
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，AA 为椭圆 x24+y2=1\frac{x^2}{4}+y^2=1 上一点，MM 为线段 OAOA 上的动点，过点 MM 作直线交椭圆于 P,QP,Q 两点，若 PM→=2MQ→\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MQ}，求四边形 OPAQOPAQ 面积 SS 的最大值。
正常解法
设 P(2cos⁡α,sin⁡α),Q(2cos⁡β,sin⁡β)P(2\cos\alpha,\sin\alpha),Q(2\cos\beta,\sin\beta)，因为 PM→=2MQ→\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{MQ}，xM=2cos⁡α+4cos⁡β3,yM=sin⁡α+2cos⁡α3x_M=\frac{2\cos \alpha+4\cos\beta}3,y_M=\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}3，设 OA→=λOM→\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OM}，将 AA 点坐标代入椭圆方程得 cos⁡(α−β)=94λ2−45\cos(\alpha-\beta)=\frac{9}{4\lambda^2}-\frac45。S=λS△POQ=λ∣sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β∣=λsin⁡(α−β)=−(9λ216+8116λ2)+458≤32S=\lambda S_{\triangle POQ}=\lambda|\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta|=\lambda\sin(\alpha-\beta)=\sqrt{-\left(\frac{9\lambda^2}{16}+\frac{81}{16\lambda^2}\right)+\frac{45}8}\leq \frac32，当且仅当 λ=3\lambda=\sqrt3 时等号成立。
仿射
设 y′=2yy'=2y，则 x2+y′2=4x^2+y'^2=4，在平面直角坐标系 xOy′xOy' 中，其为圆心在原点，半径 R=2R=2 的圆. 不妨取 A′(0,2)A'(0,2)，由仿射变换结论得四边形 OP′A′Q′OP'A'Q' 的面积 S′=2S=12R∣xP′−xQ′∣S'=2S=\frac12R|x_{P'}-x_{Q'}|，而 xQ′=−12xP′x_{Q'}=-\frac12x_{P'}，xP′∈[−R,R]x_{P'}\in [-R,R]，取 xP′=Rx_{P'}=R 时 S′S' 取最大值 33，即 SS 的最大值为 32\frac32。

定比点差法

定比点差法可以解决一类圆锥曲线中定比弦问题。
前置知识：定比分点定理
设 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)，若 AP→=λPB→\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}，则 P(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)P\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)。
对于圆锥曲线 Γ:x2m+y2n=1\Gamma:\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1 来说（注意这个形式包括了椭圆和双曲线），若 A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) 是 Γ\Gamma 上两点，且 P(x0,y0)P(x_0,y_0) 满足AP→=λPB→\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}。则由定比分点定理可知 x0=x1+λx21+λ,y0=y1+λy21+λx_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}。而 A,BA,B 在 Γ\Gamma 上，可以得到：
x12m+y12n=1λ2x22m+λ2y22n=λ2\begin{aligned} &\frac{x_1^2}{m}+\frac{y_1^2}{n}=1\\ &\frac{\lambda^2x_2^2}{m}+\frac{\lambda^2y_2^2}{n}=\lambda^2 \end{aligned}
将两式作差可得 (x1+λx2)(x1−λx2)m+(y1+λy2)(y1−λy2)n=1−λ2\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{m}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{n}=1-\lambda^2。结合 x0x_0 和 y0y_0 可以得到更多结论。
事实上，中点弦定理就是点差法在 λ=1\lambda=1 时的特殊情况。
已知椭圆 x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1 的上顶点为点 DD，右焦点为点 FF，过点 P(4,2)P(4,2) 作直线交椭圆于点 A,BA,B（点 AA 在点 PP 和点 BB 之间），交直线 DFDF 于点 QQ，点 A,B,QA,B,Q 互不相同。若 PA→=λPB→,QA→=μBQ→\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PB},\overrightarrow{QA}=\mu\overrightarrow{BQ}，求 λ−μ\lambda-\mu。
解法
x128+y124=1\frac{x_1^2}{8}+\frac{y_1^2}{4}=1，λ2x228+λ2y224=λ2\frac{\lambda^2x_2^2}{8}+\frac{\lambda^2y_2^2}{4}=\lambda^2，两式相减得 (x1+λx2)(x1−λx2)8+(y1+λy2)(y1−λy2)4=1−λ2\frac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{8}+\frac{(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{4}=1-\lambda^2。注意到 Q(x1+μx21+μ,y1+μy21+μ)Q(\frac{x_1+\mu x_2}{1+\mu},\frac{y_1+\mu y_2}{1+\mu}) 在直线 x+y−2=0x+y-2=0 上，x1+λx21+λ=4,y1+λy21+λ=2\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}=4,\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}=2。以上各式联立可得 (λ−μ)(x2+y2−2)=0(\lambda-\mu)(x_2+y_2-2)=0，由于 B,QB,Q 不相同，则 x2+y2−2≠0x_2+y_2-2\neq 0，则 λ−μ=0\lambda-\mu=0。

非对称韦达

韦达定理可以处理 x1+x2x_1+x_2，x1x2x_1x_2，∣x1−x2∣|x_1-x_2| 形如这样的 x1,x2x_1,x_2 地位对等的式子，但是如果类似 x1x2\frac{x_1}{x_2}，kx1+x2kx_1+x_2 这样子的式子，我们很不方便直接使用韦达定理，所以可以通过韦达定理进行代换，或使用其他方式凑出韦达式，我们称这种做法为非对称韦达。对于比较常见的 ax1x2+b(x1+x2)+kx1ax1x2+b(x1+x2)+mx1\frac{ax_1x_2+b(x_1+x_2)+kx_1}{ax_1x_2+b(x_1+x_2)+mx_1} 形式的式子，通常将上下只保留 x1x_1 或 x2x_2 的其中一个，其他项通过配凑变成对称形式韦达并在带入后化简，一般来说可以得到定值。

蝴蝶定理

对于二次曲线上弦 PQPQ 的中点 MM，从 MM 引出两条弦 ABAB，CDCD，设过 A,B,C,DA,B,C,D 四点的二次曲线交 PQPQ 与点 I,JI,J，则 MM 是线段 IJIJ 的中点。
蝴蝶定理一般用于解决圆锥曲线中的斜率比问题。

后记

本文持续更新，欢迎私信笔者提供有意义的二级结论。

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