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有关双圆问题
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_nothingGG
2025/03/17 23:13
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@mipvyoed
此快照首次捕获于
2025/12/03 18:50
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/03 18:50
3 个月前
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描述
若有两圆
⨀
O
1
(
r
1
)
⨀
O
2
(
r
2
)
\bigodot O_1(r_1) \text{ } \bigodot O_2(r_2)
⨀
O
1
(
r
1
)
⨀
O
2
(
r
2
)
P
1
P_1
P
1
和
P
2
P_2
P
2
分别在
⨀
O
1
(
r
1
)
⨀
O
2
(
r
2
)
\bigodot O_1(r_1) \text{ } \bigodot O_2(r_2)
⨀
O
1
(
r
1
)
⨀
O
2
(
r
2
)
上运动，规定其转一圈的时间均为
t
t
t
定义两种运动起点：
起点一：总有一点穿过
线段
\color{red}{线段}
线段
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
比另一点晚
t
2
\frac{t}{2}
2
t
起点二：两点总是同时穿过
线段
\color{red}{线段}
线段
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
如图：
若运动方向相同，则
P
1
P_1
P
1
与
P
21
P_{21}
P
21
是起点一
P
1
P_1
P
1
与
P
22
P_{22}
P
22
是起点二
若运动方向不同，则
P
1
P_1
P
1
与
P
22
P_{22}
P
22
是起点一
P
1
P_1
P
1
与
P
21
P_{21}
P
21
是起点二
现在取
P
1
P_1
P
1
与
P
2
P_2
P
2
中点
P
3
P_3
P
3
，求其运动轨迹：
解
同向旋转（都是顺时针或逆时针）
起点一（结论）
P
3
P_3
P
3
在
⨀
O
3
(
r
3
)
\bigodot O_3(r_3)
⨀
O
3
(
r
3
)
上运动
O
3
O_3
O
3
是
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
中点
r
3
=
r
1
+
r
2
2
r_3=\frac{r_1+r_2}{2}
r
3
=
2
r
1
+
r
2
运动方向：与两点运动方向相同
起点二（结论）
P
3
P_3
P
3
在
⨀
O
3
(
r
3
)
\bigodot O_3(r_3)
⨀
O
3
(
r
3
)
上运动
O
3
O_3
O
3
是
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
中点
r
3
=
∣
r
1
−
r
2
∣
2
r_3=\frac{\left |r_1-r_2\right |}{2}
r
3
=
2
∣
r
1
−
r
2
∣
运动方向：与两点运动方向相同
反向旋转（一个顺时针一个逆时针）
起点一（结论）
P
3
P_3
P
3
在
椭圆
F
1
F
2
(
a
,
b
)
椭圆F_{1}F_{2}(a,b)
椭圆
F
1
F
2
(
a
,
b
)
上运动（椭圆定义为
x
2
a
2
+
x
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1
a
2
x
2
+
b
2
x
2
=
1
，即
a
a
a
为半长轴，
b
b
b
为半短轴）
F
1
F
2
F_{1}F_{2}
F
1
F
2
与
O
1
O
2
O_{1}O_{2}
O
1
O
2
共线并且共中点，也就是这个椭圆是上下短，左右长的
a
=
r
1
+
r
2
2
a=\frac{r_1+r_2}{2}
a
=
2
r
1
+
r
2
b
=
∣
r
1
−
r
2
∣
2
b=\frac{\left |r_1-r_2\right |}{2}
b
=
2
∣
r
1
−
r
2
∣
运动方向：与半径长的圆上的点运动方向相同
不是匀速
\color{red}不是匀速
不是匀速
起点二（结论）
P
3
P_3
P
3
在
椭圆
F
1
F
2
(
a
,
b
)
椭圆F_{1}F_{2}(a,b)
椭圆
F
1
F
2
(
a
,
b
)
上运动（椭圆定义为
x
2
a
2
+
x
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1
a
2
x
2
+
b
2
x
2
=
1
，即
a
a
a
为半长轴，
b
b
b
为半短轴）
F
1
F
2
F_{1}F_{2}
F
1
F
2
与
O
1
O
2
O_{1}O_{2}
O
1
O
2
互相垂直平分，也就是这个椭圆是上下长，左右短的
a
=
r
1
+
r
2
2
a=\frac{r_1+r_2}{2}
a
=
2
r
1
+
r
2
b
=
∣
r
1
−
r
2
∣
2
b=\frac{\left |r_1-r_2\right |}{2}
b
=
2
∣
r
1
−
r
2
∣
运动方向：与半径长的圆上的点运动方向相同
不是匀速
\color{red}不是匀速
不是匀速
补充（
r
1
=
r
2
r_1=r_2
r
1
=
r
2
）
同向旋转（都是顺时针或逆时针）
起点一（结论）
P
3
P_3
P
3
在
⨀
O
3
(
r
3
)
\bigodot O_3(r_3)
⨀
O
3
(
r
3
)
上运动
O
3
O_3
O
3
是
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
中点
r
3
=
r
1
=
r
2
r_3=r_1=r_2
r
3
=
r
1
=
r
2
运动方向：与两点运动方向相同
起点二（结论）
P
3
P_3
P
3
总是在
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
中点
反向旋转（一个顺时针一个逆时针）
起点一（结论）
P
3
P_3
P
3
在线段
R
T
RT
RT
上运动
R
T
RT
RT
与
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
共线共中点
R
T
=
2
r
1
=
2
r
2
RT=2r_1=2r_2
RT
=
2
r
1
=
2
r
2
不是匀速
\color{red}不是匀速
不是匀速
起点二（结论）
P
3
P_3
P
3
在线段
R
T
RT
RT
上运动
R
T
RT
RT
与
O
1
O
2
O_1O_2
O
1
O
2
互相垂直平分
R
T
=
2
r
1
=
2
r
2
RT=2r_1=2r_2
RT
=
2
r
1
=
2
r
2
不是匀速
\color{red}不是匀速
不是匀速
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