整除分块某引理证明。

将 $1\sim n$ 中所有 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的结果合并为一个长度为 $m$ 的升序序列 $a$，则 $\lfloor\frac{n}{a_j}\rfloor=a_{m-j+1}$。

注意到原命题等价为：

$\lfloor\frac{n}{a_j}\rfloor$ 严格单调递减，且 $\lfloor\frac{n}{a_j}\rfloor$ 为某个 $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$，取 $i=a_j$ 即可。

考虑如何证明 $\lfloor\frac{n}{a_j}\rfloor$ 严格单调递减，注意到它单调不增是显然的，然后命题可以等价于 $\lfloor\frac{n}{a_j}\rfloor$ 取值有 $m$ 种，等价于 $\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor$ 取值有 $m$ 种。这个取值种类数就是整除分块的右端点数，和整除分块的块内值的种类数显然相同。