从 0 开始，直到 N+

从零开始定义四则运算（基于高中数学必修一）

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第一步：定义自然数集

1. $0$ 是自然数。
2. 每个自然数 $n$ 有唯一后继 $S(n)$（例如 $S(0)=1, S(1)=2$）。
3. $0$ 不是任何数的后继。
4. 若 $S(m)=S(n)$，则 $m=n$。
5. 数学归纳法：若性质 $P$ 满足 $P(0)$ 且 $P(n) \Rightarrow P(S(n))$，则 $P$ 对所有自然数成立。

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第二步：定义加法

1. 基底：$\forall a \in \mathbb{N},\ a + 0 = a$
2. 递归：$\forall a,b \in \mathbb{N},\ a + S(b) = S(a + b)$

例子：
$2 + 3 = S(2 + 2) = S(S(2 + 1)) = S(S(S(2 + 0))) = S(S(S(2))) = 5$

• 交换律：$a + b = b + a$（可用归纳法证明）
• 结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$

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第三步：定义乘法

1. 基底：$\forall a \in \mathbb{N},\ a \times 0 = 0$
2. 递归：$\forall a,b \in \mathbb{N},\ a \times S(b) = a + (a \times b)$

例子：
$2 \times 3 = 2 + (2 \times 2) = 2 + [2 + (2 \times 1)] = 2 + [2 + [2 + (2 \times 0)]] = 2 + 2 + 2 = 6$

• 交换律：$a \times b = b \times a$
• 分配律：$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$

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第四步：定义减法（需扩展整数集）

• 整数包括自然数、负自然数（如 $-1, -2$）和 $0$。
• 用有序对 $(a,b)$ 表示 $a-b$（例如 $(5,3)=2,\ (3,5)=-2$）。

例子：$5 - 3 = 5 + (-3) = 2$

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第五步：定义除法（需扩展有理数集）

• 有理数是分数 $\frac{p}{q}$（$p,q \in \mathbb{Z},\ q \neq 0$）。
• 用有序对 $(p,q)$ 表示（例如 $(3,2)=\frac{3}{2}$）。

例子：
$6 \div 3 = 6 \times \frac{1}{3} = 2$
$\frac{4}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{4}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

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四则运算律总结

1. 加法交换律：$a + b = b + a$
2. 加法结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$
3. 乘法交换律：$a \times b = b \times a$
4. 乘法结合律：$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
5. 分配律：$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$
6. 减法与除法的逆运算性：
   • $a - b = a + (-b)$
   • $a \div b = a \times b^{-1}\ (b \neq 0)$

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关键思想：

1. 加法 是基础（通过后继函数递归定义）。
2. 乘法 是加法的重复（递归定义）。
3. 减法 是加法的逆运算（需扩展数集）。
4. 除法 是乘法的逆运算（需扩展数集）。
5. 运算律 在每一步扩展中保持不变（如交换律、结合律）。