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支配树详解

SShikita
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2019.3.3 update:修改了证明的格式,给模板代码加上注释
2019.3.3 update：加上了一道例题讲解
2019.3.3 update：加上了latex

支配树概念

给定一个有向图，给定起点S，终点T，要求在所有从S到T的路径中，必须经过的点有哪些(即各条路径上点集的交集），称为支配点。简而言之，如果删去某个点（即支配点），则不存在一条路径能够使S到达T。由支配点构成的树叫做支配树
假设下图为给定的有向图

支配树的性质

支配树是一颗由起点S为根的树，根到树上任意一点路径经过的点都是它的支配点。 对于每颗子树，都符合上述性质（即子树内一点到该子树的根路径经过的点都是该子树的根的支配点）

支配树的算法——Lengauer Tarjan

前置知识

学会构建dfs树，对于dfn序有简单的了解
对于树上两点路径有初步的认识，知道LCA的概念
知道带权并查集的合并方法（合并子树时需要使用）

主要变量

1：dfn[x]dfn[x],表示x的dfs序（若没有说明，下文文中节点大小比较默认为比较两个点的dfn大小）
2：sdom[x]sdom[x]，表示x的半支配点
3：idom[x]idom[x],表示x的最近支配点
4：完全祖先：不包含自身的祖先节点
5：完全后代：不包含自身的子节点
关于 dfsdfs 树，此处存在一个定理
若 u,vu,v 是 dfsdfs 树上的任意两个节点，那么从u到v的路径上必然存在某个点为这两个点的 LCALCA（最近公共祖先）
证明：对于树上两点的路径，必然存在一个深度最小的点，使得两点路径必然经过该点。可以形象理解为一个爬树的过程，即从一个点出发，慢慢向上爬，必然访问到一个最高点后再慢慢向下走，最终访问到另外一个节点，那么那个最高点就可以形象地理解为这两个点的LCA。

关于半支配点

定义

对于一个节点U，存在V能够通过许多点（不包含V和U）到达点U
且对于任意i都有dfn[i]>dfn[U]dfn[i]>dfn[U]，对于所有满足条件的V中能使dfn[V]最小的V称为半支配点 即sdom[U]=Vsdom[U]=V
简而言之 sdom[w]=minsdom[w]=min{v∣v|存在路径v=v0,v1,...,vk=wv=v_0, v_1, ..., v_k=w使得vi>wv_i>w对1<=i<=k−11<=i<=k-1成立}.

性质

1：半支配点是唯一的（但是支配点可以有多个）
证明：根据半支配点的定义，因为是路径中节点的最小值，所以只有一个
2:对于任意点w，它的半支配点必定是它在dfs treedfs\ tree上的祖先
证明：假设w在dfs树上的父亲节点为w1w_1，根据dfs树的定理可知，必然有sdom[w]>=w1>wsdom[w]>=w_1>w。
且存在一条路径 sdom[w]={v0,v1,...,vk=wsdom[w]=\{v_0, v_1, ..., v_k=w ，使得vi>wv_i>w对1<=i<=k−11<=i<=k-1成立。}
又根据dfs树的性质，存在某一节点vi=LCA(sdom[w],w)v_i=LCA(sdom[w],w)。 但因为vi<sdom[w]v_i<sdom[w]，所以vi=sdom[w]v_i=sdom[w]，且sdom[w]sdom[w]是ww的一个完全祖先，结论得证
3：对于任意节点ww（w不等于起点s）的支配点必然是该节点的半支配点的祖先节点
证明：根据上述性质，我们可以证明sdom[w]sdom[w]和idom[w]idom[w]是节点ww的完全祖先。
假设我们已经得到了一条从起点ss到ww的链，根据半支配点的定义，这条路径中必定不包含w的完全祖先和sdom[w]sdom[w]的完全后代，那么idom[w]idom[w]必然是sdom[w]sdom[w]的祖先节点，结论得证
4：假设 存在v,wv,w且vv是ww的祖先，那么idom[w]idom[w]不为v的后代就为idom[v]idom[v]的祖先
证明： 设存在某一x是idom[w]idom[w]的任意一个完全后代，且同时是v的完全祖先。
则必然存在一条从s到v且不经过x的路径。我们再找到一条从v到w的路径，将这两条路径连接起来，我们就得到了一条从s到w不经过x的路径。
因此idom[w]idom[w]要么是v的后代，要么是idom[v]idom[v]的祖先。

求取方法

对于任意点u(u≠S)u(u≠S)，若点U和点V之间存在路径
sdom[u]sdom[u]=minmin({v|(v,u)∈E且v<u}∪{sdom[k]|k>u}且存在边(v,u)满足k是v的祖先})
简而言之
CPP
if(dfn[u]>dfn[v]) sdom[u]=min(v);
else sdom[u]=min{sdom[k]}
//对于∀k满足dfn[k]>dfn[U]且k能到达U
证明（本段证明翻译于tarjan的本人思路）：
设x等于上式右端。我们首先证明sdom(w)<=xsdom(w)<=x。
如果x使得x能到达w且dfn[x]<dfn[w]dfn[x]<dfn[w]，那么有sdom(w)<=xsdom(w)<=x。
另一种情况，x=sdom[w]x=sdom[w]，dfn[u]>dfn[w]dfn[u]>dfn[w]，且存在边(v,w)(v,w)满足u是v的祖先节点。
存在一条路径{x=v0,v1,...,vj=ux=v_0, v_1, ..., v_j=u，使得vi>u>wv_i>u>w对1<=i<=j−11<=i<=j-1成立。}
而树上路径u−>vu->v满足vi>=u>wvi>=u>w对j<=i<=k−1j<=i<=k-1成立。
因此路径x=v0,v1,...,vk−1=vx=v_0, v_1, ..., v_{k-1}=v满足vi>wv_i>w对1<=i<=k−11<=i<=k-1成立。所以sdom(w)<=xsdom(w)<=x。
我们还需要证明sdom[w]>=xsdom[w]>=x。
假设存在一条路径sdom[w]sdom[w]={v0,v1,...,vk=wv_0, v_1, ..., v_k=w，使得vi>wv_i>w对1<=i<=k−11<=i<=k-1成立。}
若k=1，那么存在一条路径从sdom[w]sdom[w]到w。而根据上述引理，却有sdom(w)<wsdom(w)<w。于是sdom(w)>=xsdom(w)>=x。
对k>1的另一种情况，设j是使得j>=1j>=1并且vjv_j是vk−1v_{k-1}的祖先的最小值。这样的j一定存在，因为j可以等于k-1.
我们断言：对于1<=i<=j−11<=i<=j-1，vi>vjv_i>v_j成立。
否则，我们选取所有满足1<=i<=j−11<=i<=j-1且vi<=vjv_i<=v_j的i中使得v_i最小的那个。
由上述性质，viv_i是vjv_j祖先，和j的选择矛盾。这证明了结论。
根据上述证明，sdom[w]>=sdomsdom[w]>=sdom [vj][v_j]>=x。因此无论k=1还是k>1，都有sdom[w]>=xsdom[w]>=x，定理得证.
虽然看起来很复杂，但是仔细理解一下还是容易看懂的（我自己实在想不出能够比这个更合理更正确的证明方法，就直接引用原文了）

关于最近支配点

定义

如果图中存在节点v,w,且v支配w，并且w的其他支配点均支配v，我们就称v是w的最近支配点，记作idom[w]=vidom[w]=v

应用

通过已知sdomsdom推导得idomidom
令集合P={xx到sdom[x]sdom[x]路径上的点集}
令元素k=min(dfn[P[i]])k=min(dfn[P[i]])
CPP
if(sdom[k]==sdom[x]) idom[x]=sdom[x]
else idom[x]=iodm[z]
证明（不好意思又是来自tarjan老爷子的论文，我努力简化了一下，尽量不违背原文意思，毕竟不能误人子弟）：
若需要证明上述结论，只需要分别证明两个结论
考虑sdom[w]sdom[w]支配了w。
考虑任意一条从s到w的路径p。设x为这条路径上最后一个满足x<sdom[w]x<sdom[w]的点。若无此x，则sdom[w]sdom[w]一定支配w。
否则，设y是路径上x之后，满足sdom[w]sdom[w]是y的完全祖先，而y又是w的完全祖先的第一个点。
设路径q=(x=v0,v1,v2,...,vk=y)q=(x=v_0, v_1, v_2, ..., v_k=y)是路径p中从x到y的一部分。对于1<=i<=k−11<=i<=k-1,有vi>yv_i>y。
否则如果有vi<yv_i<y，那么存在某个满足i<=j<=k−1i<=j<=k-1的vjv_j是y的祖先。由于x的选择方式，一定有vj>=sdom[w]v_j>=sdom[w]，这意味着sdom[w]sdom[w]和y的选择矛盾。从而证明了上述观点
这一观点加上半支配点的定义，成功得到了sdom[y]<=x<sdom[w]sdom[y]<=x<sdom[w].根据定理的假设，y不可能是sdom[w]sdom[w]的完全后代。这意味着y=sdom[w]y=sdom[w]，且sdom[w]sdom[w]位于路径p上。由于路径p是任意的，sdom[w]sdom[w]支配了w。证毕。

关于算法实现

1：先对这张图进行一遍dfs,求出dfn
2：求出sdom
根据sdom的上述性质，我们可以通过根据dfn大小从大到小遍历，那么我们查询的都是祖先链，根据定义我们可以很轻松地求出sdom
3：保留dfs tree 上的节点和边，那么显然，原图变为了一个DAG
然后再将点丢到支配树中，在做这个操作之前，我们需要先求出该点祖先链中sdom的最小值，然后这个点会成为一颗子树的根，通过带权并查集维护各个子树并连接。最后通过sdom求出idom，算法就完成了

代码实现

支配树模板题
题意：给定一张有向图，求从1号点出发，每个点能支配的点的个数（包括自己）
CPP
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;
    char c=getchar();
    bool flag=0;
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')flag=1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x+(x<<2)<<1)+ c-'0';c=getchar();}
    return flag?-x:x;
}
const int N=2e5+10;
int n,m,ans[N],dfn[N],id[N],tot,dep[N];
int ffa[N],fa[N],semi[N],val[N],du[N],ff[25][N];
queue<int>q,q1;
vector<int>cg[N];
struct node
{
    vector<int>edge[N];
    inline void add(int u,int v){edge[u].push_back(v);}
}a,b,c,d;
inline void dfs(int x,int f)
{
    dfn[x]=++tot,id[tot]=x,ffa[x]=f,c.add(f,x);
    for(int i=0;i<a.edge[x].size();++i) if(!dfn[a.edge[x][i]]) dfs(a.edge[x][i],x);
}
inline void dfs_ans(int x)
{
    ans[x]=1;
    for(int i=0;i<d.edge[x].size();++i) dfs_ans(d.edge[x][i]),ans[x]+=ans[d.edge[x][i]];
}
inline int find(int x)
{
    if(x==fa[x]) return x;
    int tmp=fa[x];fa[x]=find(fa[x]);
    if(dfn[semi[val[tmp]]]<dfn[semi[val[x]]]) val[x]=val[tmp];
    return fa[x];
}
inline int LCA(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int d=dep[x]-dep[y];
    for(int i=20;i>=0;i--) if(d&(1<<i)) x=ff[i][x];
    for(int i=20;i>=0;i--) if(ff[i][x]^ff[i][y]) x=ff[i][x],y=ff[i][y];
    return x==y?x:ff[0][x];
}
inline void tarjan()
{
    for(int i=n;i>=2;--i) 
    {
        if(!id[i]) continue;
        int x=id[i],res=n;
        for(int j=0;j<b.edge[x].size();++j)
        {
            int v=b.edge[x][j];
            if(!dfn[v]) continue;
            if(dfn[v]<dfn[x]) res=min(res,dfn[v]);
            else find(v),res=min(res,dfn[semi[val[v]]]);
        }
        semi[x]=id[res],fa[x]=ffa[x],c.add(semi[x],x);
    }
    for(int x=1;x<=n;x++) for(int i=0;i<c.edge[x].size();++i) du[c.edge[x][i]]++,cg[c.edge[x][i]].push_back(x);
    for(int x=1;x<=n;x++) if(!du[x]) q.push(x);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();q1.push(x);
        for(int i=0;i<c.edge[x].size();++i) if(!--du[c.edge[x][i]]) q.push(c.edge[x][i]);
    }
    while(!q1.empty())
    {
        int x=q1.front(),f=0,len=cg[x].size();q1.pop();
        if(len) f=cg[x][0];
        for(int j=1;j<len;j++) f=LCA(f,cg[x][j]);
        ff[0][x]=f,dep[x]=dep[f]+1,d.add(f,x);
        for(int p=1;p<=20;p++) ff[p][x]=ff[p-1][ff[p-1][x]];
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=val[i]=semi[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=n-read()+1,v=n-read()+1;
        a.add(u,v),b.add(v,u);
    }
    dfs(n,0);tarjan();dfs_ans(n);
    for(int i=n;i>=1;i--) printf("%d ",ans[i]);
}
例题：灾难
题意：给定一个DAG，求如果删去一个点有多少个点会被影响（即灭绝）
分析：其实看明白了就是一道支配树板子题。因为每个点之间都存在依赖关系，如果删去某个点，对于任意一个原先有入度的点说，如果因此没有入度，那么它就死了，并且删除与它相连的边，然后重复迭代以上步骤直到没有点死去
然后我们把边反向然后观察可以发现：如果说删除了一个点后某个点无法连向原图中无入度的点（注意是原图中的入度，反图中就是出度），那么它就死了
但是对于原图中，存在某些点没有入度（即生产者，不依赖任何东西），那么我们只需要建一个超级源点把这些没有入度的点连接起来，然后跑网络流，那么那个点则为我们的起点，而题目也转换为模板题了
代码
CPP
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() { int x=0; char c=getchar(); bool flag=0;
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')flag=1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x+(x<<2)<<1)+ c-'0';c=getchar();} return flag?-x:x;
}
const int N=2e5+5;
int n,m;
struct node {
    vector<int>edge[N];
    inline void add(int u,int v) {
        edge[u].push_back(v);
    }
} a,b,c,d;
int dfn[N],id[N],fa[N],cnt;
//dfn表示dfs序,id表示序号所对应的点,fa记录点u的父亲节点 
void dfs(int u) 
{
    dfn[u]=++cnt;id[cnt]=u;
    int len=a.edge[u].size();
    for(int i=0; i<len; ++i) 
    {
        int v=a.edge[u][i];
        if(dfn[v])continue;
        fa[v]=u;
        dfs(v);
    }
}
int sdom[N],idom[N],bel[N],val[N];
//sdom表示半支配点,idom表示支配点 
//val[x]表示从x到其已经被搜过的祖先的dfn的最小值val[x]
//bel[x]表示并查集中的fa 
inline int find(int x) 
{
    if(x==bel[x])return x;
    int tmp=find(bel[x]);
    if(dfn[sdom[val[bel[x]]]]<dfn[sdom[val[x]]]) val[x]=val[bel[x]];
    //用sdom[val[x]]更新sdom[x] 
    return bel[x]=tmp;
}
inline void tarjan() 
{
    for(int i=cnt; i>1; --i)//在dfs树上遍历,从大到小 
    {
        int u=id[i],len=b.edge[u].size();
        for(int i=0; i<len; ++i) 
        {
            int v=b.edge[u][i];
            if(!dfn[v])continue;//不在dfs树上 
            find(v);
            if(dfn[sdom[val[v]]]<dfn[sdom[u]]) sdom[u]=sdom[val[v]];
        }
        c.add(sdom[u],u);
        bel[u]=fa[u],u=fa[u];
        len=c.edge[u].size();
        for(int i=0;i<len;++i) 
        {
            int v=c.edge[u][i];
            find(v);
            if(sdom[val[v]]==u) idom[v]=u;
            else idom[v]=val[v];
        }
    }
    for(int i=2;i<=cnt;++i) 
    {
        int u=id[i];
        if(idom[u]!=sdom[u]) idom[u]=idom[idom[u]];
    }
}
int ans[N];
void dfs_ans(int u) 
{
    ans[u]=1;
    int len=d.edge[u].size();
    for(int i=0;i<len;++i) 
    {
        int v=d.edge[u][i];
        dfs_ans(v);
        ans[u]+=ans[v];
    }
}
int du[N];
int main() 
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int k=read();k;k=read(),++du[i])
    a.add(k,i),b.add(i,k);
    for(int i=1;i<=n;++i) sdom[i]=bel[i]=val[i]=i;
    for(int i=1;i<=n;++i) if(du[i]==0) a.add(0,i),b.add(i,0);
    dfs(0);
    tarjan();
    for(int i=1;i<=n;++i) d.add(idom[i],i);
    dfs_ans(0);
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",ans[i]-1);
}
这个算法的时间复杂度是O(（n+mn+m）loglog(nn))或者O((n+mn+m)αα),空间复杂度是O(n)。
图片以及主要思路来源于tarjan的论文 （提取码：wnvy ）

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