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傅里叶变换(FFT)学习笔记

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@mhz5t3v8
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2025/11/15 01:56
4 个月前
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2025/11/29 05:25
3 个月前
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——傅里叶变换在信息学竞赛中主要作用是利用卷积思想,化乘为加,快速计算多项式乘法。
我太蒟了,看了F(x)F(x)篇博文,还是没看懂。
关于多项式,有了O(nlogn)O(nlogn)乘法,就有了全世(jia)界(tong)!
update(2019.6.27):update(2019.6.27):更新了一些证明和式子。
update(2019.10.28):update(2019.10.28):发现模板题时限缩小,开始修锅(去冗余)。
当年写这篇文章的时候比较菜(现在仍然很菜),所以讲的比较含混不清,现在更新和精简了一些内容,希望能对大家有所帮助~
源码删去了17KB,更新了9KB内容。
文章中的代码已经进一步优化,可以通过模板题。
由于文章前后内容有所变化,已将讨论区清空。

警告 : 本文对数学水平有一定要求,如果发现看不懂,可以先存着。
另外,如果你掌握和式的话,学习速度将会大幅度提高。
此外,由于前面的内容太掉逼格,建议水平高的选手直接跳到“单位根”

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

-1.前置知识

1.线段树(或者基本分治):题目
2.基本数论:题目
3.码力:题目
4.基本数学:题目
然后在你刷完这些题之后,发现题和下面的内容并没什么关系。
附上一句,这是省选\color{purple}\textsf{省选}内容哦!(然而并没有什么影响)
总结一下\color{Black}\colorbox{lightgreen}{总结一下}
这里不会满屏都是三角函数!!,没有eie^i和什么欧拉定理!!
不需要你会高数,只要用过平面直角坐标系,就可以看。
这篇文章源码40KB,写的时候挑战洛谷Blog(浏览器)性能极限

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

0.概(che)论(dan)

FFT全称(Fast Fourier Transformation)
中文名:快速傅里叶离散变换
作用 : 以O(nlogn)O(nlogn)的复杂度计算多项式乘法(你以为呢?Of course more than that!)。
大家在学多项式乘法的时候,是不是觉得拆括号特别麻烦。
比如说计算(x2+3x1)(2x2+x5)(x^2+3x-1)*(2x^2+x-5)
  • 原式=x2(2x2+x5)+3x(2x2+x5)(2x2+x5)=x^2(2x^2+x-5)+3x(2x^2+x-5)-(2x^2+x-5)
       =(2x4+x35x2)+(6x3+3x215x)(2x2+x5)\quad\ \ \ =(2x^4+x^3-5x^2)+(6x^3+3x^2-15x)-(2x^2+x-5)
       =2x4+x35x2+6x3+3x215x2x2x+5\quad\ \ \ =2x^4+x^3-5x^2+6x^3+3x^2-15x-2x^2-x+5
       =2x4+(x3+6x3)+(3x22x25x2)+(x15x)+5\quad\ \ \ =2x^4+(x^3+6x^3)+(3x^2-2x^2-5x^2)+(-x-15x)+5
       =2x4+7x34x216x+5\quad\ \ \ =2x^4+7x^3-4x^2-16x+5
很复杂...
现在我们就要用计算机把两个多项式乘起来(所谓多项式问题)。
P.S:下面提及的多项式均只有一元,你可以认为只有xx这一元。
为了表述方便,下面定义一些记号(请仔细阅读):
  • F(x)F(x)表示一个多项式,简单的叫做“多项式FF”。
    F(x)F(x)是简便写法,比如我们设F(x)=x2+x+1F(x)=x^2+x+1,以后我们提起x2+x+1x^2+x+1就不用那么啰嗦,直接说F(x)F(x)就好啦。
    你也可以把它理解为函数,上面的F(x)=x2+x+1F(x)=x^2+x+1
    那么F(5)=52+5+1=31F(5)=5^2+5+1=31,非常和谐。
  • 系数(参数)
    这里有一个n次多项式F(x)F(x)
    差不多长成这样:axn+bxn1+cxn2+...a*x^n+b*x^{n-1}+c*x^{n-2}+...
    其中a,b,c...a,b,c...参数,因为他们在系数的位置上,所以也叫系数.
    用不同的字母来表示系数很烦,我们就用数组。
    通常把F(x)F(x)nn次项系数称作F[n]F[n]
    也即F(x)=i=0nF[i]xiF(x)=\sum^{n}_{i=0}F[i]x^i
  • 乘法的本质(卷积)
    现在如果让你把两个nn次多项式F(x)F(x)P(x)P(x)乘起来,你会怎么写程序?
    简单啦!
    C=ABC=A*B(多项式).
    C[k]=i=0kA[i]B[ki]C[k]=\sum\limits_{i=0}^kA[i]B[k-i]
    理解:想要乘出xkx^k,需要AAxix^i项和BBxkix^{k-i}项。
    也就是说A[i]B[ki]A[i]B[k-i]乘起来之后,他们后面的未知数就变成了xkx^k,所以要往C[k]C[k]贡献。
    也可以写做等价的C[k]=i+j==kA[i]B[j]C[k]=\sum\limits_{i+j==k}A[i]B[j](不懂没关系,看代码你就懂了)
    形为C[k]=ij==kA[i]B[j]C[k]=\sum\limits_{i⊕j==k}A[i]B[j]的式子称为卷积,其中为某种运算。
    那么你可能观察到了,多项式乘法就是加法卷积
    (后面我们还会学习到其他的卷积)
    多项式乘法拥有交换律结合律分配率什么的,就不多说了……
亮出模板题
暴力卷积Code(用于上述模板题,44'):
CPP
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define Maxn 1000500
using namespace std;
inline int read()
{
  register int X=0;
  register char ch=0;
  while(ch<48||ch>57)ch=getchar();
  while(ch>=48&&ch<=57)X=X*10+(ch^48),ch=getchar();
  return X;
}
int n,m;
long long f[Maxn],g[Maxn],s[Maxn];
void mul(long long *s,long long *f,long long *g)
{
  for (int k=0;k<n+m-1;k++)
    for (int i=0;i<=k;i++)
      s[k]+=f[i]*g[k-i];
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);n++;m++;
  for (int i=0;i<n;i++)f[i]=read();
  for (int i=0;i<m;i++)g[i]=read();
  mul(s,f,g);
  for (int i=0;i<n+m-1;i++)printf("%lld ",s[i]);
  return 0;
}
总结一下\color{Black}\colorbox{lightgreen}{总结一下}
要用计算机把两个多项式乘起来就是所谓多项式问题。
数学家为了偷懒发明了麻烦的记号
习题\color{Black}\colorbox{yellow}{习题}
  • 验算上面的式子,你同意作者的化简过程吗?

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1.DFT & IDFT的思想

首先说一下多项式的点值表达
如果把多项式看作函数,画出图像
比如一个一次函数(多项式)F(x)=2x+1F(x)=2x+1
如果一开始不告诉你解析式,只跟你说这个一次函数经过点(0,1)和(1,3),你能搞出解析式吗?
待定系数法(两点确定一条直线)即可。
我们这里不讲待定系数法,我们只讲待定系数法的推论
在平面直角坐标系中,n+1n+1 个点就能唯一确定一个 nn 次多项式。
如果对这方面的知识感兴趣,可以查看 从拉插到快速插值求值
所以我们可以用n+1个点值(有序数对)来描述一个多项式
比如两个nn次多项式F(x)F(x)P(x)P(x)
令数列X={x0,x1,x2,...,xn}X=\{x_0,x_1,x_2,...,x_n\}
把数列X={x0,x1,...,xn}X=\{x_0,x_1,...,x_n\}代入多项式F(x)F(x),得到的n+1n+1个点分别为(x0,y0)(x1,y1)...(xn,yn)(x_0,y_0)(x_1,y_1)...(x_n,y_n)
同样的,多项式P(x)P(x)得到的的n+1n+1个点分别为(x0,y0)(x1,y1)...(xn,yn)(x_0 , y_0^*)(x_1 , y_1^*)...(x_n , y_n^*)
比如说F(x)=x2/2+x1;F(x)=x^2/2+x-1;(绿色)  P(x)=x2/4+2x\ \ P(x)=-x^2/4+2x(红色)
X={1,0,1}X=\{-1,0,1\}(这里次数n=2n=2)
函数图像与得到的点如下。
点值实例
三个红点的函数值分别为Fy={2.25; 0; 1.75}Fy=\{-2.25;\ 0;\ 1.75\}
三个绿点的函数值分别为Py={1.5; 1; 0.5}Py=\{-1.5;\ -1;\ 0.5\}(均为从左到右)
让你求两个多项式之积W(x)=F(x)P(x)W(x)=F(x)*P(x)点值表达,你会怎么干?
点值表达有一个好处,给你两个多项式点值表达,让你求两个多项式之积的点值表达,直接将对应项乘起来就好了。
(点值的乘法对应着整个多项式的乘法,也就是浓缩了整个多项式)
比如上文F(x)F(x)P(x)P(x)这两个多项式的第一个有序数对(1,2.25)(-1,-2.25)(1,1.5)(-1,-1.5)
就相当于告诉我们F(1)=2.25,G(1)=1.5F(-1)=-2.25,G(-1)=-1.5
那么F(1)G(1)F(-1)*G(-1)呢?
废话,肯定等于2.251.5-2.25*-1.5
所以W(1)=F(1)G(1)=2.251.5=3.375W(-1)=F(-1)*G(-1)=-2.25*-1.5=3.375
W(0)=F(0)G(0)=01=0W(0)=F(0)*G(0)=0*-1=0
W(1)=F(1)G(1)=1.750.5=0.875W(1)=F(1)*G(1)=1.75*0.5=0.875
所以W在XX处的函数值为Wy={3.375; 0; 0.875}Wy=\{3.375;\ 0;\ 0.875\}
验算一下?
W(x)=F(x)P(x)=(x2/2+x1)(x2/4+2x)W(x)=F(x)*P(x)=(x^2/2+x-1)(-x^2/4+2x)
=x4/8+x3x3/4+2x2+x2/42x=-x^4/8+x^3-x^3/4+2x^2+x^2/4-2x
=x4/8+3x3/4+9x2/42x=-x^4/8+3x^3/4+9x^2/4-2x
代入X={1,0,1}X=\{-1,0,1\}
得到W(1)=1/83/4+9/4+2=3.375W(-1)=-1/8-3/4+9/4+2=3.375
W(0)=0W(0)=0
W(1)=1/8+3/4+9/42=0.875W(1)=-1/8+3/4+9/4-2=0.875
总结一下就是F(x)G(x)=(FG)(x)F(x)G(x)=(F*G)(x)
好像那里不对,W的次数明摆着是2n
在平面直角坐标系中,给你(n+1)个点就能确定一个n次多项式。
所以需要2n+1个点才行,还差n个,肿么办?
反正点都是你自己找的,再多来几个不就好了……
现在F(x)F(x)P(x)P(x)两个多项式各有2n+12n+1个点
所以W的点值表达为(0,Fy0Py0)(1,Fy1Py1)...(4,Fy2nPy2n)(0, Fy_0*Py_0)(1,Fy_1*Py_1)...(4,Fy_{2n}*Py_{2n})
只需要做2n+1次乘法即可。
看起来很好用,其实只是几个点而已,和系数表达差着十万八千里。
于是我们就想,能不能把系数表达转换为点值表达呢?
算法流程:
把系数表达转换为点值表达->点值表达相乘->把点值表达转换为系数表达。
这就是 FFT 的算法流程。
“把系数表达转换为点值表达”的算法叫做DFT
“把点值表达转换为系数表达”的算法叫做IDFT(DFT的逆运算)
P.S:
  • 从一个多项式的系数表达确定其点值表达的过程称为求值(毕竟求点值表达的过程就是取了 n 个 x 然后扔进了多项式求了 n 个值出来);
  • 而求值运算的逆运算(也就是从一个多项式的点值表达确定其系数表达)被称为插值.
总结一下\color{Black}\colorbox{lightgreen}{总结一下}
在平面直角坐标系中,给你(n+1)个点就能确定一个n次多项式(函数)。
点值表示相乘(点乘)远快于暴力卷积。

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2.单位根(复数)及其性质

(如果你不知道ii的故事,请百度“虚数ii)

P.S:学会了复数计算之后推荐给自己出点计算题来做

DFT有一个妙处,就是代入什么由你自己决定,只要点值个数足够。
我们这些蒟蒻第一感觉都会选择人畜无害的正整数,或者有理数什么的。
但是这些东西虽然在普通人看来计算简单,但并没有什么能够加以利用的优秀性质。
事实证明,找一些毒瘤东西代入进去是个好想法。
上古之时,有一位dalao横空出世,他就是傅里叶
好像是个搞复数的专家,有一天他突发奇想:
单位根ωn+10\omega_{n+1}^0~ωn+1n\omega_{n+1}^n代入了多项式想求点值表达(什么鬼)
然后ωn+10\omega_{n+1}^0~ωn+1n\omega_{n+1}^n有一些性质(蛤玩意儿)
然后分治,就O(nlogn)O(nlogn)了(好像只有最后一个分句看得懂)

好吧先来介绍复数。
复数,即形为a+bia+bi的数,这里i2=1\large i^2=-1
比如说数轴原来是一条直线:
某个实数一定可以用数轴上一个点来代表。
多么和谐自然。
然而复数来了。
数轴原来是一条横着的直线,现在又多了一条竖着的,变成了一个坐标系。
原来的那条直线(横)称为实轴
新的那条直线(竖)称为虚轴
每个复数一定可以用这个坐标系上一个点来代表。
比如蓝点是1+2i-1+2i,红点是1+i1+i

其实形为a+bia+bi的复数也可以理解为一个点(a,b)

精妙之处在于,复数之间能做运算
不懂的话就多琢磨下我写完这些之后就懂了
我们来介绍下复数运算
  • 复数相加:实部和虚部分别相加。
如:(32i)+(5+i)=(3+5)+(2i+i)=8i(3-2i)+(5+i)=(3+5)+(-2i+i)=8-i
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
  • 复数相减:取个相反数再相加。
  • 复数相乘:像一次多项式一样相乘。
如:(32i)(5+i)=3(5+i)2i(5+i)(3-2i)*(5+i)=3*(5+i)-2i*(5+i)
=15+3i10i2i2=177i\qquad\qquad\qquad\qquad\quad=15+3i-10i-2i^2=17-7i
P.S:i2=1i^2=-1
(a+bi)(c+di)=a(c+di)bi(c+di)=ac+adi+bci+bdi2(a+bi)*(c+di)=a(c+di)*bi(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2
=acbd+(ad+bc)i\qquad\qquad\qquad\qquad=ac-bd+(ad+bc)i
  • 复数的共轭:实部相同,虚部相反(根据实轴对称)。
32i3-2i的共轭是3+2i3+2i
P.S:一个复数与自己的共轭相乘一定会得到实数(abi)(a+bi)=a2+b2(a-bi)(a+bi)=a^2+b^2
  • 复数相除:分子分母同乘分母的共轭
将分母实数化,在分子分母同时乘上分母的共轭,即可把分母变成实数。
然后直觉化简。
a+bic+di=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)=ac+bd+(bcad)ic2+d2=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac{a c + bd+ (bc-ad)i }{c^2+d^2}=\dfrac{a c + bd }{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i

而且这些运算在几何(也就是上面的坐标系)里面也有神奇的性质。

复数相乘

这里画的是复数(3+2i)(3+2i)(1+4i)(1+4i)相乘的结果(5+14i)(-5+14i)
看出来什么没有?
好吧,看见那些从A,B,CA,B,C点连向原点的细线了么。
以你做几何题的直觉??
没错!如果设原点为点OO,数5表示的那个点为P(忘记画点P)。
有性质 : POC=BOA∠POC=∠BOA , OBOC=OAOB*OC=OA
我们把一个复数表示的点到原点的距离叫做这个复数的模长,也就是这里的OB;OC;OAOB;OC;OA,复数x=(a+bi)x=(a+bi)的模长称作x|x|
也即 : 复数相乘时,模长相乘,幅角相加!
原点到该点的射线与实轴正方向射线组成的角 (逆时针旋转) 的角度乘坐这个复数的幅角,复数a+bia+bi的幅角称作arg(a+bi)arg(a+bi)
(不清楚的看图)
接下来是证明(最好跟着把图画出来):
为保证一般性,下面涉及到的都是字母。
  • 模长相乘
设两个复数为a+bia+bic+dic+di
那么它们表示的点就是(a,b)(a,b)(c,d)(c,d),分别称这两个点为BBCC
这两个复数的积为acbd+(ad+bc)iac-bd+(ad+bc)i;表示的点是(acbd,ad+bc)(ac-bd,ad+bc),称这个点为AA
  • 使用勾股定理可得BO=a2+b2; CO=c2+d2BO=\sqrt{a^2+b^2};\ CO=\sqrt{c^2+d^2}
    AO=(acbd)2+(ad+bc)2;=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2AO=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2};=\sqrt{a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2}
    BOCO=a2+b2c2+d2=(c2+d2)(a2+b2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=AO\overline{BO}*\overline{CO}=\sqrt{a^2+b^2}*\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(c^2+d^2)*(a^2+b^2)}=\sqrt{a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2}=AO
证毕。
  • 幅角相加
第二个规律需要相似+爆算的,不想了解请跳过。
那么,如果能证明途中两个三角形相似,就能证明幅角相加定理了。
我们已经证明了OA=OCOBOA=OC*OB(模长相乘),相似比例就是OBOB
OB:O1OB:O1也是OBOB,我们只要再证明AB:1C=OBAB:1C=OB即可,也即AB2=OB21C2AB^2=OB^21C^2
AB2=(acbdc)2+(ab+bcd)2=a2c2+a2d22ac22ad2+b2c2+b2d2+c2+d2AB^2=(ac-bd-c)^2+(ab+bc-d)^2=a^2c^2+a^2d^2-2ac^2-2ad^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2+d^2
OB21C2=(c2+d2)((a1)2+b2)=a2c2+a2d22ac22ad2+b2c2+b2d2+c2+d2=AB2OB^21C^2=(c^2+d^2)((a-1)^2+b^2)=a^2c^2+a^2d^2-2ac^2-2ad^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2+d^2=AB^2
证毕。这玩意特别重要。

接下来我们介绍单位根
看起来很高大上,这是傅里叶快速变换的重要内容。
  • n次单位根(n为正整数)是n次幂为1的复数。
换句话说,就是方程xn=1\large x^n=1的复数解。
到这里你也许会有一点不懂,我们来一起推导一下。
学过三角函数的话应该对单位圆很熟悉。
不熟悉的话也没事,单位圆就是:

圆心在原点且半径为1的圆(如图)

我们在复平面上放一个单位圆,在这个单位圆上的点表示的复数都有一个性质:
模长为1(圆上每一点到圆心的距离都相等)
可还记得?n次单位根是n次幂为1的复数,1的模长就是1
考虑一个复数xx
如果x>1|x|>1,即xn=xn>1|x^n|=|x|^n>1(模长乘模长,越乘越大)
如果x<1|x|<1,即xn=xn<1|x^n|=|x|^n<1(模长乘模长,越乘越小)
所以只有模长等于1的复数才有可能成为n次单位根。
也就是说,只有单位圆上的点表示的复数才有可能成为n次单位根(必要性)
我们成功缩小了探究范围,只在这一个圆上研究
(下面提及的复数,均是在单位圆上的复数!!!)
接下来,我们要单位根。
这些单位根的模长都是11,只有幅角存在差别,下面我们就不考虑模长
容易找到 : 幅角0,1n圆周,2n圆周,...,n1n圆周 0,\dfrac{1}{n}\text{圆周},\dfrac{2}{n}\text{圆周},...,\dfrac{n-1}{n}\text{圆周}\ 的复数,都是单位根,共n个。
也就是说,假如一个复数,其幅角为an(0a<n,aZ)\dfrac{a}{n}(0\leq a<n,a∈Z),那么这就是一个单位根。
容易知道这玩意的nn次方幅角是aa倍圆周,那么就和1重合。
根据代数基本定理 : n次方程在复数域内有且只有n个根
所以这些不重不漏,就是所有的单位根了。
还不懂也没关系,我们来实践一下。
n=3;n=3;
有一个模长为1的复数为3次单位根,它的幅角为(圆周a*a)
它的3次方的幅角为3a3a*圆周
那么,如果它是3次单位根,幅角的3倍(3a(3a*圆周))一定是圆周的自然数倍。
所以3a是自然数。
a=0时,它的幅角为0(其实这个复数就是1)
a=1/3时,它的幅角为(圆周/3)
a=2/3时,它的幅角为(2圆周/3)
幅角0,1n圆周,2n圆周,...,n1n圆周 0,\dfrac{1}{n}\text{圆周},\dfrac{2}{n}\text{圆周},...,\dfrac{n-1}{n}\text{圆周}\ 的单位根,共n个。
每一个都比上一个"多转了"1n圆周\dfrac{1}{n}\text{圆周}
所以n次单位根n等分单位圆。(重要)。
怎么称呼这些单位根呢
ω\omega”是单位根的符号,偶尔也写作ww(颜文字请走开,LaTeX是$\omega$)
我们从1开始(1一定是单位根),沿着单位圆逆时针把单位根标上号。
ωn0=1\omega_{n}^0=1
ωn1\omega_{n}^1为第二个n次单位根
...
ωnn1\omega_{n}^{n-1}为第n个n次单位根
比如上图,最右边的点就是ω30\omega_{3}^0,左上角的点就是ω31\omega_{3}^1,左下角的点就是ω32\omega_{3}^2.
P.S
虽然我们只承认ωn0,ωn1,ωn2\omega_{n}^0,\omega_{n}^1,\omega_{n}^2~ωnn1\omega_{n}^{n-1},
但是也有ωnk\omega_{n}^{k}k>=nk>=nk<0k<0的情况(带正负的角)。
ωnk=ωnk%n\large\omega_{n}^k=\omega_{n}^{k\%n}
随意称呼,切了书写方便,一般不取模。

关于单位根的基本定义相信你已经Get到了。单位根的世界,就是一个单位圆。
下面还有一些性质(类比切蛋糕记忆)
  • -1.对任意的n,  ωn0=1\ \ \large{\omega_{n}^{0}=1}
显而易见,不懂的把上面的图看一看。
  • 0. ωnk=(ωn1)k\ \large{\omega_{n}^k=(\omega_{n}^1)^k}
ωnk=ωn1ωn1...ωn1(共k个)\omega_{n}^k=\omega_{n}^1*\omega_{n}^1*...*\omega_{n}^1\text{(共k个)}
每乘上一个ωn1\omega_{n}^1代表“把幅角逆时针转动1n圆周\dfrac{1}{n}\text{圆周}
转了k次,即为kn圆周\dfrac{k}{n}\text{圆周}
  • 1.两个n次单位根 ωnjωnk=ωnj+k\ \large{\omega_{n}^j*\omega_{n}^k=\omega_{n}^{j+k}}
由(0)可得 ωnjωnk=(ωn1)j(ωn1)k=(ωn1)j+k=ωnj+k\ \large{\omega_{n}^j*\omega_{n}^k=(\omega_{n}^1)^j*(\omega_{n}^1)^k=(\omega_{n}^1)^{j+k}}=\omega_{n}^{j+k}
感性理解 : 我们把一个圆等分成n份(想想你切蛋糕的时候)
由(1)可得:
  • (ωnk)1=(ωnk)1=ωnk=ωnnk(ω^k_n)^{-1}=(ω^k_n)^{-1}=ω_n^{-k}=ω_n^{n-k}
    根据ωnjωnk=ωnj+k\omega_{n}^j*\omega_{n}^k=\omega_{n}^{j+k}
    ωnnkωnk=ωnnk+k=ωnn=ωn0=1ω_n^{n-k}*ω^k_n=\omega_{n}^{n-k+k}=\omega_{n}^{n}=\omega_{n}^{0}=1
  • (ωnk)j=ωnkj(ω^k_n)^j=ω_n^{kj}
    根据ωnjωnk=ωnj+k\omega_{n}^j*\omega_{n}^k=\omega_{n}^{j+k}
    (ωnk)j=共j个(ωnk)(ωnk)...(ωnk)==ωnkj(ω^k_n)^j=\begin{matrix}\text{共j个}\\\overbrace{(ω^k_n)*(ω^k_n)*...*(ω^k_n)}\end{matrix}==ω_n^{kj}
  • 任何一个n次单位根都可以写成ωn1ω_n^1的整幂
    显而易见,ωnk=(ωn1)kω_n^k=(ω_n^1)^k
  • 2.ω2n2k=ωnk\large{ω^{2k}_{2n}=ω^k_n}
ωnkω^k_n相当于我们把一个圆(蛋糕)等分n份然后取k
类似的,ω2n2kω^{2k}_{2n}相当于我们把一个圆(蛋糕)等分2n份然后取2k
显然是等价的,只不过多切了几刀而已。
同理,有ωpnpk=ωnkω^{pk}_{pn}=ω^k_n
  • 3.如果n是偶数, ωn(k+n/2)=ωnk\ \large{ω^{(k+n/2)}_{n}=-ω^k_n}
根据ωn(j+k)=ωnjωnk\omega_{n}^{(j+k)} = \omega_{n}^j*\omega_{n}^k
ωn(k+n/2)=ωnkωnn/2ω^{(k+n/2)}_{n}=ω^k_n*ω^{n/2}_{n}
根据(1),把“乘ωnn/2\omega_{n}^{n/2}”这个操作理解为把幅角逆时针转动((n2)n=12\large\frac{(\frac{n}{2})}{n}=\frac{1}{2}圆周)。
也就是旋转半个圆周,也就是关于原点对称,也就是取相反数(建议画个图)
好啦,关于单位根想必你已经掌握啦(终于!!)。
坐稳了,前方高能!!!
总结一下\color{Black}\colorbox{lightgreen}{总结一下}
复数把数轴扩展到了复平面上,复数可以对应复平面上一个点。
复数也有四则运算。复数相乘时,模长相乘,幅角相加。
n次单位根(n为正整数)是n次幂为1的复数。
把单位根画到单位圆上之后,就能整出一些性质
习题\color{Black}\colorbox{yellow}{习题}
  • 画出五次单位根并计算它们的具体值

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

3.DFT的加速版本

我们来讲讲FFT的分治方式
傅里叶一巴掌把这个多项式拍成碎片,然后按奇偶拼成两块
考虑n-1次(也就是说有n项)多项式F(x)
的每一项按照下标(次数)的奇偶分成两部分:
F(x)=(F[0]+F[2]x2+...+F[n2]xn2)+(F[1]x+F[3]x3+...+F[n1]xn1)F(x)=(F[0]+F[2]x^2+...+F[n-2]x^{n-2})+(F[1]x+F[3]x^3+...+F[n-1]x^{n-1})
这里保证n是2的整幂,不会出现分得不均匀的情况。
又设两个有n/2项的多项式FL(x)FL(x)FR(x)FR(x),
他们的系数依赖于F(x)F(x)(具体看式子)
FL(x)=F[0]+F[2]x+...+F[n2]xn/21FL(x)=F[0]+F[2]x+...+F[n-2]x^{n/2-1}
FR(x)=F[1]+F[3]x+...+F[n1]xn/21FR(x)=F[1]+F[3]x+...+F[n-1]x^{n/2-1}
(又把多项式忘了的,赶紧回去看)
则可以得出F(x)=FL(x2)+xFR(x2)F(x)=FL(x^2)+xFR(x^2)(非常重要)
我们要把ωnkω^k_n代入F(x)F(x)
  • k<n/2k<n/2,代入ωnkω^k_n
F(ωnk)=FL((ωnk)2)+ωnkFR((ωnk)2)F(ω^k_n)=FL((ω^k_n)^2)+ω^k_nFR((ω^k_n)^2)
因为(ωnk)2=ωn/2k(ω^k_n)^2=ω^k_{n/2}(不理解这个的请见第二节)
F(ωnk)=Fl(ωn/2k)+ωnkFR(ωn/2k)\large{F(ω^k_n)=Fl(ω^k_{n/2})+ω^k_nFR(ω^k_{n/2})}
  • k<n/2k<n/2,代入ωnk+n/2ω^{k+n/2}_n
F(ωnk+n/2)=FL((ωnk+n/2)2)+ωnk+n/2FR((ωnk+n/2)2)F(ω^{k+n/2}_n)=FL((ω^{k+n/2}_n)^2)+ω^{k+n/2}_nFR((ω^{k+n/2}_n)^2)
(下一步用到了(ωnk)j=ωnkj(ω^k_n)^j=ω_n^{kj})
   =FL(ωn2k+n)+ωnk+n/2FR(ωn2k+n)\qquad\qquad\ \ \ =FL(ω^{2k+n}_n)+ω^{k+n/2}_nFR(ω^{2k+n}_n)
(下一步用到了ωnk=ωnk%n\omega_{n}^k=\omega_{n}^{k\%n})
   =FL(ωn2k)+ωnk+n/2FR(ωn2k)\qquad\qquad\ \ \ =FL(ω^{2k}_n)+ω^{k+n/2}_nFR(ω^{2k}_n)
(下一步用到了ω2n2k=ωnk\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k})
   =FL(ωn/2k)+ωnk+n/2FR(ωn/2k)\qquad\qquad\ \ \ =FL(ω^{k}_{n/2})+ω^{k+n/2}_nFR(ω^{k}_{n/2})
(下一步用到了ωnk+n/2=ωnk\omega_{n}^{k+n/2}=-\omega_{n}^k)
   =FL(ωn/2k)ωnkFR(ωn/2k)\qquad\qquad\ \ \ =FL(ω^{k}_{n/2})-ω^k_nFR(ω^{k}_{n/2})
最后得到F(ωnk+n/2)=FL(ωn/2k)ωnkFR(ωn/2k)\large{F(ω^{k+n/2}_n)=FL(ω^{k}_{n/2})-ω^k_nFR(ω^{k}_{n/2})}
比对一下上一个式子F(ωnk)=Fl(ωn/2k)+ωnkFR(ωn/2k)F(ω^k_n)=Fl(ω^k_{n/2})+ω^k_nFR(ω^k_{n/2})
等式右边不就是只有一个正负号的区别吗?
这两条式子有什么用呢?
到这里,如果我们知道两个多项式FL(x)FL(x)FR(x)FR(x)分别在ωn/20,ωn/21,ωn/22,...,ωn/2n/21ω^0_{n/2},ω^1_{n/2},ω^2_{n/2},...,ω^{n/2-1}_{n/2}的点值表示,
套用F(ωnk)=Fl(ωn/2k)+ωnkFR(ωn/2k)F(ω^k_n)=Fl(ω^k_{n/2})+ω^k_nFR(ω^k_{n/2})可以O(n)O(n)求出F(x)F(x)ωn0,ωn1,ωn2,...,ωnn/21ω^0_{n},ω^1_{n},ω^2_{n},...,ω^{n/2-1}_{n}处的点值表示。
套用F(ωnk+n/2)=FL(ωn/2k)ωnkFR(ωn/2k)F(ω^{k+n/2}_n)=FL(ω^{k}_{n/2})-ω^k_nFR(ω^{k}_{n/2})可以O(n)O(n)求出F(x)F(x)ωnn/2,ωnn/2+1,ωnn/2+2,...,ωnn1ω^{n/2}_{n},ω^{n/2+1}_{n},ω^{n/2+2}_{n},...,ω^{n-1}_{n}处的点值表示。
所以如果我们知道两个多项式FL(x)FL(x)FR(x)FR(x)分别在ωn/20,ωn/21,ωn/22,...,ωn/2n/21ω^0_{n/2},ω^1_{n/2},ω^2_{n/2},...,ω^{n/2-1}_{n/2}的点值表示,就可以O(n)O(n)求出F(x)F(x)ωn0,ωn1,ωn2,...,ωnn1ω^0_{n},ω^1_{n},ω^2_{n},...,ω^{n-1}_{n}处的点值表示。
我们就成功的获得了F(x)F(x)的点值标示。
(懵逼不怕,具体见代码)
好像有哪里不对?
上文: 如果我们知道两个多项式FL(x)FL(x)FR(x)FR(x)分别在ωn/20,ωn/21,ωn/22,...,ωn/2n/21ω^0_{n/2},ω^1_{n/2},ω^2_{n/2},...,ω^{n/2-1}_{n/2}的点值表示...就可以O(n)O(n)求出F(x)F(x)ωn0,ωn1,ωn2,...,ωnn1ω^0_{n},ω^1_{n},ω^2_{n},...,ω^{n-1}_{n}处的点值表示。
问题在于我们不知道啊?
FL(x)FL(x)FR(x)FR(x)暴力代入?
NO~NO~NO~
上面的工作,其实是一个分治的过程。
FL(x)FL(x)FR(x)FR(x)这两个多项式,是规模为原多项式一般的子问题,他们的性质完全相同
这个可以一直分治下去,直到多项式只剩下一个项为止(此时什么操作也不用做)。

实践出真知,我们现在就用代码来表现丰富多彩的数学吧!

总结一下\color{Black}\colorbox{lightgreen}{总结一下}
FFT分治的过程,就是根据:
F(ωnk)=Fl(ωn/2k)+ωnkFR(ωn/2k)\large{F(ω^k_n)=Fl(ω^k_{n/2})+ω^k_nFR(ω^k_{n/2})}
F(ωnk+n/2)=FL(ωn/2k)ωnkFR(ωn/2k)\large{F(ω^{k+n/2}_n)=FL(ω^{k}_{n/2})-ω^k_nFR(ω^{k}_{n/2})}
这两个式子,实现子问题的合并。
记忆方法:F(x)=FL(x2)+xFR(x2)\large F(x)=FL(x^2)+xFR(x^2),将单位根分上下半圆代入讨论。
习题\color{Black}\colorbox{yellow}{习题}
  • 默写上述两个式子的证明过程

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4.DFT的代码实现

还有一个小细节。
上文有一句话:“保证n是2的整幂,不会出现分得不均匀的情况。”
实际应用中,n不一定是2的正整数次幂。
我们可以补项,在最高次强行添加一些系数为0的项(类似于高精度补0)。不影响我们的计算结果,却占了位置。(具体见代码)
讲完了这些我们可以开始写DFTDFT

1.复数结构体

根据上文复数的四则运算重载。
CPcomplexcomplex 的简称。
CPP
#include <iostream>
using namespace std;
struct CP
{
  CP (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
  double x,y;
  CP operator + (CP const &B) const
  {return CP(x+B.x,y+B.y);}
  CP operator - (CP const &B) const
  {return CP(x-B.x,y-B.y);}
  CP operator * (CP const &B) const
  {return CP(x*B.x-y*B.y,x*B.y+y*B.x);}
  CP operator / (CP const &B) const {
    double t=B.x*B.x+B.y*B.y;
    return CP((x*B.x+y*B.y)/t,
              (y*B.x-x*B.y)/t);
  } 
}a,b;
int main()
{
  cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y;
  CP c;
  c=a+b;
  cout<<'('<<c.x<<','<<c.y<<")\n";
  c=a-b;
  cout<<'('<<c.x<<','<<c.y<<")\n";
  c=a*b;
  cout<<'('<<c.x<<','<<c.y<<")\n";
  c=a/b;
  cout<<'('<<c.x<<','<<c.y<<")\n";
  return 0;
}
(别用STL,会被卡常)

2.预处理单位根

之前我们一直在说“把单位根代入...”
现在我们来学习如何求单位根。
前面我们说过 ωnk=(ωn1)k\ \large{\omega_{n}^k=(\omega_{n}^1)^k}
也就是说只要求出ωn1ω^1_n然后把它乘n次,就能得到{ωn0,ωn1,ωn2,ωn3,...,ωnn1}\{ω^0_n,ω^1_n,ω^2_n,ω^3_n,...,ω^{n-1}_n\}
我们怎么求ωn1ω^1_n呢?
点A就是ωn1ω^1_n,我们需要求出它的横坐标OBOB和纵坐标ABAB
RTRT三角形OABOAB中,我们已知AOB=1n∠AOB=\dfrac{1}{n}圆,OBA=90∠OBA=90°,OA=1OA=1
其他什么也不知道。我们需要求OBOBABAB
英文缩写表达式语言描述函数名称
sina/c∠A的对边比斜边正弦函数
cosb/c∠A的邻边比斜边余弦函数
tana/b∠A的对边比邻边正切函数
观察上图,需要求OBOBABAB,它们俩分别是O∠O的邻边和对边.
sin(O)=Osin(∠O)=∠O的对边比斜边; cos(O)=Ocos(∠O)=∠O的邻边比斜边;
所以OB=cos(O)AO=cos(O); AB=sin(O)AO=sin(O)OB=cos(∠O)*AO=cos(∠O);\ AB=sin(∠O)*AO=sin(∠O)
模长AO=1AO=1
所以ωn1ω^1_n的坐标为(cos(O),sin(O))(cos(∠O),sin(∠O))
C++的三角函数采用弧度制。一个整圆不再是360360°,而是2π
所以O=1n∠O=\dfrac{1}{n}=2πn=\dfrac{2π}{n},ωn1ω^1_n的坐标为(cos(2πn),sin(2πn))\left(cos(\dfrac{2π}{n}),sin(\dfrac{2π}{n})\right)
只要求出ωn1ω^1_n然后把它乘n次,就能得到{ωn0,ωn1,ωn2,ωn3,...,ωnn1}\{ω^0_n,ω^1_n,ω^2_n,ω^3_n,...,ω^{n-1}_n\}
代码:
CPP
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define Maxn 1000500
//用这句话能得到得到精确的π,可以当做结论来记
const double Pi=acos(-1);
using namespace std;
struct CP
{
  CP (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
  double x,y;
  CP operator + (CP const &B) const
  {return CP(x+B.x,y+B.y);}
  CP operator - (CP const &B) const
  {return CP(x-B.x,y-B.y);}
  CP operator * (CP const &B) const
  {return CP(x*B.x-y*B.y,x*B.y+y*B.x);}
  //除法没用
}w[Maxn];
//w长得是不是很像ω?
int n;
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  CP sav(cos(2*Pi/n),sin(2*Pi/n)),buf(1,0);
  for (int i=0;i<n;i++){
    w[i]=buf;
	  buf=buf*sav;
  }
  for (int i=0;i<n;i++)
	  printf("w[%d][n]=(%.4lf,%.4lf)\n",i,w[i].x,w[i].y);
  //由于精度问题会出现-0.0000的情况,将就看吧
  return 0;
}

3.递归实现DFT(简单版)

具体见代码,多说无益。
CPP
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define Maxn 1350000
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
int n,m;
struct CP
{
  CP (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
  double x,y;
  CP operator + (CP const &B) const
  {return CP(x+B.x,y+B.y);}
  CP operator - (CP const &B) const
  {return CP(x-B.x,y-B.y);}
  CP operator * (CP const &B) const
  {return CP(x*B.x-y*B.y,x*B.y+y*B.x);}
  //除法没用
}f[Maxn<<1],sav[Maxn<<1];
void dft(CP *f,int len)
{
  if (len==1)return ;//边界
  //指针的使用比较巧妙 
  CP *fl=f,*fr=f+len/2;
  for (int k=0;k<len;k++)sav[k]=f[k];
  for (int k=0;k<len/2;k++)//分奇偶打乱
    {fl[k]=sav[k<<1];fr[k]=sav[k<<1|1];}
  dft(fl,len/2);
  dft(fr,len/2);//处理子问题
  //由于每次使用的单位根次数不同(len次单位根),所以要重新求。
  CP tG(cos(2*Pi/len),sin(2*Pi/len)),buf(1,0);
  for (int k=0;k<len/2;k++){
    //这里buf = (len次单位根的第k个) 
    sav[k]=fl[k]+buf*fr[k];//(1)
    sav[k+len/2]=fl[k]-buf*fr[k];//(2)
    //这两条语句具体见Tips的式子
    buf=buf*tG;//得到下一个单位根。
  }for (int k=0;k<len;k++)f[k]=sav[k];
}
int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for (int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&f[i].x);
  //一开始都是实数,虚部为0
  for(m=1;m<n;m<<=1);
  //把长度补到2的幂,不必担心高次项的系数,因为默认为0
  dft(f,m);
  for(int i=0;i<m;++i)
    printf("(%.4f,%.4f)\n",f[i].x,f[i].y);
  return 0;
}
Tips :
(1)F(ωnk+n/2)=FL(ωn/2k)ωnkFR(ωn/2k)F(ω^{k+n/2}_n)=FL(ω^{k}_{n/2})-ω^k_nFR(ω^{k}_{n/2})
(2)F(ωnk)=FL(ωn/2k)+ωnkFR(ωn/2k)F(ω^k_n)=FL(ω^k_{n/2})+ω^k_nFR(ω^k_{n/2})
现在问题来了,DFT输出的都是些杂乱的点值表达,所以解决不了问题。
上文说过,IDFT是DFT的逆(CP),她可以把点值还原成多项式,最终完成乘法。
现在到了讲IDFT的时候了!!!

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5.IDFT理论与FFT初步实现

IDFT和DFT就是两句话的区别,这个结论实在太好记了。
结论 : 把DFT中的ωn1ω^1_n换成ωn1ω^{-1}_n,做完之后除以nn即可。(记忆)
当然,证明还是要有的,而且很有价值,从这里可以延伸出 单位根反演
我们知道DFTDFT就是求点值,我们不需要再去证明点值的相关性质,我们只要弄出一个DFTDFT的逆运算就好了。
还是多项式F(x)F(x),设我们变换之后,得到的点值数列为GG
G=DFT(F)G=DFT(F)
脑补代入的过程,可得G[k]=i=0n1(ωnk)iF[i]\large G[k]=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(ω^k_n)^iF[i]
那么结论就是nF[k]=i=0n1(ωnk)iG[i]\large n*F[k]=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(ω^{-k}_n)^iG[i]
通过这个式子我们可以把点值还原。
证明:
右边=i=0n1(ωnk)iG[i]=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(ω^{-k}_n)^iG[i]
代入可得:
=i=0n1j=0n1ωnijωnikF[j]=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}ω^{ij}_nω^{-ik}_nF[j]
=i=0n1j=0n1ωni(jk)F[j]=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{j=0}^{n-1}ω^{i(j-k)}_nF[j]
分类讨论:
  • j==kj==k
那么贡献就是i=0n1ωn0F[k]=nF[k]\sum\limits_{i=0}^{n-1}ω^{0}_nF[k]=nF[k]
  • jkj≠k,设p=jkp=j-k
那么贡献就是i=0n1ωnipF[k+p]\sum\limits_{i=0}^{n-1}ω^{ip}_nF[k+p]
=ωnp(i=0n1ωni)F[k+p]=ω^{p}_n(\sum\limits_{i=0}^{n-1}ω^{i}_n)F[k+p]
等比数列求和可以得到:
(i=0n1ωni)=ωnnp1ωnp1=ωn01ωnp1=0(\sum\limits_{i=0}^{n-1}ω^{i}_n)=\dfrac{ω_n^{np}-1}{ω_n^{p}-1}=\dfrac{ω_n^{0}-1}{ω_n^{p}-1}=0
所以这部分贡献为0,我们就成功地证明了上述结论。
如果你想知道的多一些,我可以告诉你这个东西本质是单位根反演。
或者可以理解成范德蒙德矩阵求逆。
nF[k]=i=0n1(ωnk)iG[i]nF[k]=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(ω^{-k}_n)^iG[i]
就是相当于把GG数列当做系数,再代入一遍求值。
不同的是,这次代入的是{ωn0,ωn1,ωn2,...,ωnn+1}\{ω^{0}_n,ω^{-1}_n,ω^{-2}_n,...,ω^{-n+1}_n\}
这里就要求找到一个东西能求出{ωn0,ωn1,ωn2,...,ωnn+1}\{ω^{0}_n,ω^{-1}_n,ω^{-2}_n,...,ω^{-n+1}_n\}
ωn1ω^{-1}_n就可以。
我悄悄告诉你ωn1ω^{-1}_n长这个样子
(ωn1)j=ωnj(ω^{-1}_n)^j=ω_n^{-j}
也就是说只要求出ωn1ω^{-1}_n然后把它乘n次,就能得到{ωn0,ωn1,ωn2,...,ωnn+1}\{ω^{0}_n,ω^{-1}_n,ω^{-2}_n,...,ω^{-n+1}_n\}
它的各方面和ωn1ω^{1}_n都很像,其实就是(cos(2πn),sin(2πn))\left(cos(\dfrac{2π}{n}),-sin(\dfrac{2π}{n})\right)
至此我们已经写出了第一个版本的FFT(蛤?还有几个?)
代码很好写,和DFT不同的地方很少:
CPP
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define Maxn 1350000
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
int n,m;
struct CP
{
  CP (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
  double x,y;
  CP operator + (CP const &B) const
  {return CP(x+B.x,y+B.y);}
  CP operator - (CP const &B) const
  {return CP(x-B.x,y-B.y);}
  CP operator * (CP const &B) const
  {return CP(x*B.x-y*B.y,x*B.y+y*B.x);}
  //除法没用
}f[Maxn<<1],p[Maxn<<1],sav[Maxn<<1];
void dft(CP *f,int len)
{
  if (len==1)return ;//边界
  //指针的使用比较巧妙 
  CP *fl=f,*fr=f+len/2;
  for (int k=0;k<len;k++)sav[k]=f[k];
  for (int k=0;k<len/2;k++)//分奇偶打乱
    {fl[k]=sav[k<<1];fr[k]=sav[k<<1|1];}
  dft(fl,len/2);
  dft(fr,len/2);//处理子问题
  //由于每次使用的单位根次数不同(len次单位根),所以要重新求。
  CP tG(cos(2*Pi/len),sin(2*Pi/len)),buf(1,0);
  for (int k=0;k<len/2;k++){
    //这里buf = (len次单位根的第k个) 
    sav[k]=fl[k]+buf*fr[k];//(1)
    sav[k+len/2]=fl[k]-buf*fr[k];//(2)
    //这两条语句具体见Tips的式子
    buf=buf*tG;//得到下一个单位根。
  }for (int k=0;k<len;k++)f[k]=sav[k];
}
void idft(CP *f,int len)
{
  if (len==1)return ;//边界
  //指针的使用比较巧妙 
  CP *fl=f,*fr=f+len/2;
  for (int k=0;k<len;k++)sav[k]=f[k];
  for (int k=0;k<len/2;k++)//分奇偶打乱
    {fl[k]=sav[k<<1];fr[k]=sav[k<<1|1];}
  idft(fl,len/2);
  idft(fr,len/2);//处理子问题
  CP tG(cos(2*Pi/len),  -  sin(2*Pi/len)),buf(1,0);
               //注意这 ↑ 个负号! 
  for (int k=0;k<len/2;k++){
    //这里buf = (len次反单位根的第k个) 
    sav[k]=fl[k]+buf*fr[k];
    sav[k+len/2]=fl[k]-buf*fr[k];
    buf=buf*tG;//得到下一个反单位根。
  }for (int k=0;k<len;k++)f[k]=sav[k];
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=0;i<=n;i++)scanf("%lf",&f[i].x);
  for (int i=0;i<=m;i++)scanf("%lf",&p[i].x);
  for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);//把长度补到2的幂
  dft(f,n);dft(p,n);//DFT
  for(int i=0;i<n;++i)f[i]=f[i]*p[i];//点值直接乘
  idft(f,n);//IDFT
  for(int i=0;i<=m;++i)printf("%d ",(int)(f[i].x/n+0.49));
  //注意结果除以n
  return 0;
}
可以看到因为常数过大而TLE了,看来我们需要一个常数更小的写法。
先别着急卡常,前文我们说过,IDFT和DFT只有一个符号的区别。
那么我们何不减少一下代码量呢:
CPP
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define Maxn 1350000
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
int n,m;
struct CP
{
  CP (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
  double x,y;
  CP operator + (CP const &B) const
  {return CP(x+B.x,y+B.y);}
  CP operator - (CP const &B) const
  {return CP(x-B.x,y-B.y);}
  CP operator * (CP const &B) const
  {return CP(x*B.x-y*B.y,x*B.y+y*B.x);}
  //除法没用
}f[Maxn<<1],p[Maxn<<1],sav[Maxn<<1];
//flag=1 -> DFT     flag=0 -> IDFT
void fft(CP *f,int len,bool flag)
{
  if (len==1)return ;
  CP *fl=f,*fr=f+len/2;
  for (int k=0;k<len;k++)sav[k]=f[k];
  for (int k=0;k<len/2;k++)
    {fl[k]=sav[k<<1];fr[k]=sav[k<<1|1];}
  fft(fl,len/2,flag);
  fft(fr,len/2,flag);
  CP tG(cos(2*Pi/len),sin(2*Pi/len)),buf(1,0);
  if (!flag)tG.y*=-1; 
  for (int k=0;k<len/2;k++){
    sav[k]=fl[k]+buf*fr[k];
    sav[k+len/2]=fl[k]-buf*fr[k];
    buf=buf*tG;
  }for (int k=0;k<len;k++)f[k]=sav[k];
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=0;i<=n;i++)scanf("%lf",&f[i].x);
  for (int i=0;i<=m;i++)scanf("%lf",&p[i].x);
  for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);//把长度补到2的幂
  fft(f,n,1);fft(p,n,1);//DFT
  for(int i=0;i<n;++i)f[i]=f[i]*p[i];
  fft(f,n,0);
  for(int i=0;i<=m;++i)printf("%d ",(int)(f[i].x/n+0.49));
  return 0;
}

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

6.FFT的精细实现

卡常的方法分为以下几类:
0.硬件优化:浮点加速器,CPU等等。
1.编译优化:编译开关,inline,register 之类的。
2.封装优化:把代码的封装拆开,封装得过死会使效率降低(stl)。
3.编写优化:细节优化,手写栈之类。
4.时空互易: 空间换时间以达到时空均衡(常数层面上)。
硬件优化没什么指望,编译优化能力有限又太玄学。
咱们这份代码如果硬要把封装拆开就会显得十分丑陋。
只剩下编写优化,时空互易两条路子了。
首先观察这个程序片段:
CPP
for (int k=0;k<len/2;k++){
  sav[k]=fl[k]+buf*fr[k];
  sav[k+len/2]=fl[k]-buf*fr[k];
  buf=buf*tG;
}
复数的乘法代价是很高的,而buf*fr[k]我们计算了两次!
换成下面的操作,常数就小多了:
CPP
for (int k=0;k<len/2;k++){
  CP tt=buf*fr[k];
  sav[k]=fl[k]+tt;
  sav[k+len/2]=fl[k]-tt;
  buf=buf*tG;
}
代码中我们使用了大量数组拷贝,这会影响性能。我们能否通过某些手段规避数组拷贝呢?
这个分治究竟在干什么?
分治过程 : 先按照某种顺序把东西分开排列,然后再合并上去。
  • 分开”的优化
具体的来说:
CPP
原来的递归版(数组下标,先偶后奇,从0开始):
0 1 2 3 4 5 6 710 2 4 6|1 3 5 720 4|2 6|1 5|3 730|4|2|6|1|5|3|74
我们要想办法求出第4层的数组状况,然后才能往上合并。
(这个东西叫做蝴蝶变换来着)
具体怎么求呢?多多观察可得,最后的序列是原序列的二进制反转
比如6=(110)26=(110)_2反过来就是(011)2=3(011)_2=3
“6”确实排在原来“3”的位置。
如何得到二进制翻转后的数列呢?
O(nlogn)O(nlogn)倒是可以,但是这就违背了我们卡常的本愿啦……
可以用递推O(n)O(n)搞定。
CPP
for(int i=0;i<limit;i++)
  tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?limit>>1:0);
  
//tr[i]是i的二进制翻转
这玩意是怎么得到的呢?
我们可以把一个二进制数的反转拆成两部分来看:
CPP
 ~~~~~     x
其他部分  最后一位

翻转的话就相当于

x  连接上 其他部分的反转

其他部分的反转=r[i>>1]>>1

然后判一下最后一位,如果是1则加上Limit>>1
可以类比数位DP理解。
  • 合并”的优化
观察合并的代码片段。
CPP
CP *fl=f,*fr=f+len/2;

for (int k=0;k<len/2;k++){
  CP tt=buf*fr[k];
  sav[k]=fl[k]+tt;
  sav[k+len/2]=fl[k]-tt;
  buf=buf*tG;
}for (int k=0;k<len;k++)f[k]=sav[k];
注意到指针fl[k] <--> f[k] . . . fr[k] <--> f[k+len/2]
那么我们完全可以用如下代码来代替:
CPP
fft(f,len/2,flag);
fft(f+len/2,len/2,flag);

for (int k=0;k<len/2;k++){
  CP tt=buf*f[k+len/2];
  f[k+len/2]=f[k]-tt;
  f[k]=f[k]+tt;//注意赋值顺序!
  buf=buf*tG;
}
这就规避了所有的数组拷贝。
可以写出如下代码:
CPP
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define Maxn 1350000
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
int n,m;
struct CP
{
  CP (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
  double x,y;
  CP operator + (CP const &B) const
  {return CP(x+B.x,y+B.y);}
  CP operator - (CP const &B) const
  {return CP(x-B.x,y-B.y);}
  CP operator * (CP const &B) const
  {return CP(x*B.x-y*B.y,x*B.y+y*B.x);}
}f[Maxn<<1],p[Maxn<<1];
//flag=1 -> DFT     flag=0 -> IDFT
void fft(CP *f,int len,bool flag)
{
  if (len==1)return ;
  fft(f,len/2,flag);
  fft(f+len/2,len/2,flag);
  CP tG(cos(2*Pi/len),sin(2*Pi/len)),buf(1,0);
  if (!flag)tG.y*=-1; 
  for (int k=0;k<len/2;k++){
    CP tt=buf*f[k+len/2];
    f[k+len/2]=f[k]-tt;
    f[k]=f[k]+tt;//注意赋值顺序!
    buf=buf*tG;
  }
}
int tr[Maxn<<1];
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=0;i<=n;i++)scanf("%lf",&f[i].x);
  for (int i=0;i<=m;i++)scanf("%lf",&p[i].x);
  for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);//把长度补到2的幂
  for(int i=0;i<n;i++)
    tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);
  for (int i=0;i<n;i++)
    if (i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);
  for (int i=0;i<n;i++)
    if (i<tr[i])swap(p[i],p[tr[i]]);
  fft(f,n,1);fft(p,n,1);//DFT
  for(int i=0;i<n;++i)f[i]=f[i]*p[i];
  for (int i=0;i<n;i++)
    if (i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);
  fft(f,n,0);
  for(int i=0;i<=m;++i)printf("%d ",(int)(f[i].x/n+0.49));
  return 0;
}
可以看到还是TLE一个点QAQ
三角函数求值很慢,我们却使用了O(nlogn)O(nlogn)次三角函数求值,可以考虑预处理来减小常数。
不过一种更有效的方式是:迭代实现(嘴巴讲不清楚的,看代码秒懂)。
还有一点,/2可以用位运算优化,我们把/2统一换成>>1
迭代版代码:
CPP
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define Maxn 1350000
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
int n,m;
struct CP
{
  CP (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
  double x,y;
  CP operator + (CP const &B) const
  {return CP(x+B.x,y+B.y);}
  CP operator - (CP const &B) const
  {return CP(x-B.x,y-B.y);}
  CP operator * (CP const &B) const
  {return CP(x*B.x-y*B.y,x*B.y+y*B.x);}
}f[Maxn<<1],p[Maxn<<1];
int tr[Maxn<<1];
void fft(CP *f,bool flag)
{
  for (int i=0;i<n;i++)
    if (i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);
  //枚举区间长度 
  for(int p=2;p<=n;p<<=1){
    int len=p>>1;//待合并的长度
    CP tG(cos(2*Pi/p),sin(2*Pi/p));
    if(!flag)tG.y*=-1;//p次单位根
    for(int k=0;k<n;k+=p){//枚举起始点 
      CP buf(1,0);//遍历一个子问题并合并
      for(int l=k;l<k+len;l++){
        CP tt=buf*f[len+l];
        f[len+l]=f[l]-tt;
        f[l]=f[l]+tt;
        buf=buf*tG;
      }
    }
  }
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=0;i<=n;i++)scanf("%lf",&f[i].x);
  for (int i=0;i<=m;i++)scanf("%lf",&p[i].x);
  for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);
  for(int i=0;i<n;i++)
    tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);
  fft(f,1);fft(p,1);//DFT
  for(int i=0;i<n;++i)f[i]=f[i]*p[i];
  fft(f,0);
  for(int i=0;i<=m;++i)printf("%d ",(int)(f[i].x/n+0.49));
  return 0;
}
怎么觉得比递归版好写?
这个版本是最经典的,建议背诵全文。
三句话记忆:
CPP
//F(x)=FL(x^2)+x*FR(x^2)
//F(W^k)=FL(w^k)+W^k*FR(w^k)
//F(W^{k+n/2})=FL(w^k)-W^k*FR(w^k)
可以看到已经成功地通过了这道题。

附 : "三次变两次"优化

根据(a+bi)(c+di)=a(c+di)bi(c+di)=acbd+adi+bci(a+bi)*(c+di)=a(c+di)*bi(c+di)=ac-bd+adi+bci
假设我们需要求F(x)G(x)F(x)*G(x)
复多项式P(x)=F(x)+G(x)iP(x)=F(x)+G(x)i 也就是实部为F(x)F(x),虚部为G(x)G(x).
P(x)2=(F(x)+G(x)i)2=F(x)2G(x)2+2F(x)G(x)iP(x)^2=(F(x)+G(x)i)^2=F(x)^2-G(x)^2+2F(x)G(x)i
发现P(x)2P(x)^2的虚部为 2F(x)G(x)i2F(x)G(x)i
也就是说求出P(x)2P(x)^2之后,把它的虚部除以2即可.
Code:
为了卡常数还写了个快读……
CPP
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define Maxn 1350000
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
inline int read()
{
  register char ch=0;
  while(ch<48||ch>57)ch=getchar();
  return ch-'0';
}
int n,m;
struct CP
{
  CP (double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
  double x,y;
  CP operator + (CP const &B) const
  {return CP(x+B.x,y+B.y);}
  CP operator - (CP const &B) const
  {return CP(x-B.x,y-B.y);}
  CP operator * (CP const &B) const
  {return CP(x*B.x-y*B.y,x*B.y+y*B.x);}
}f[Maxn<<1];//只用了一个复数数组 
int tr[Maxn<<1];
void fft(CP *f,bool flag)
{
  for (int i=0;i<n;i++)
    if (i<tr[i])swap(f[i],f[tr[i]]);
  for(int p=2;p<=n;p<<=1){
    int len=p>>1;
    CP tG(cos(2*Pi/p),sin(2*Pi/p));
    if(!flag)tG.y*=-1;
    for(int k=0;k<n;k+=p){
      CP buf(1,0);
      for(int l=k;l<k+len;l++){
        CP tt=buf*f[len+l];
        f[len+l]=f[l]-tt;
        f[l]=f[l]+tt;
        buf=buf*tG;
      }
    }
  }
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for (int i=0;i<=n;i++)f[i].x=read();
  for (int i=0;i<=m;i++)f[i].y=read();
  for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);
  for(int i=0;i<n;i++)
    tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);
  fft(f,1);
  for(int i=0;i<n;++i)f[i]=f[i]*f[i];
  fft(f,0);
  for(int i=0;i<=m;++i)
    printf("%d ",(int)(f[i].y/n/2+0.49));
  return 0;
}
相信经过上面的学习,这份代码大家都能够理解,我就不再赘述了.
评测记录 \quad( 2020.5.122020.5.12 更新 : 评测记录)
快了一点吧!虽然本蒟蒻的常数还是很大QwQ
  • Warning : 如果需要卷积的两个多项式值域相差太大,就会卡精度,慎用。
比如说F(x)F(x)的系数均在[105,106][10^{-5},10^{-6}]之间,G(x)G(x)的系数均在[105,106][10^5,10^6]之间。
直接做FFTFFT,涉及的精度跨度上限是1012{10^{12}}
假如使用三次变两次优化,由于平方项的存在,涉及的精度跨度上限是1024{10^{24}},严重掉精度。
下方例题第二题直接铁头硬上会WA。
至于修正方法,可以把两个多项式数乘到相同的值域范围,这样子就不会产生平方项的大误差了。
注意最后要除回去。

附 : 点值的性质

我们的点值代表了整个多项式,加法和乘法都是对应的。
这可以用于某些(初等)卡常,比如我们如果要计算AB+BC+ACA*B+B*C+A*C
如果完全封装,每次乘法就要计算33次FFT,一共就是99次FFT。
化为A(B+C)+BCA*(B+C)+B*C就是两次乘法,需要66次FFT。
我们也不必对A(B+C)A*(B+C),BCB*C分别IDFT,可以加在一起统一做,这样一共就是55次FFT。
又注意到DFT(B+C)=DFT(B)+DFT(C)DFT(B+C)=DFT(B)+DFT(C),又可以省去一次。
采用"三次变两次"优化,构造H1=(A+(B+C)i);H2=(B+Ci)H1=(A+(B+C)i);H2=(B+Ci)
平方之后也不需要分别IDFT,这样做是33次FFT,只折合原来的一次暴力。
总结一下\color{Black}\colorbox{lightgreen}{总结一下}
卡常有什么好总结的?去吊打集训队wys吧。
习题\color{Black}\colorbox{yellow}{习题}

5.后话

那么讲到这里,想必FFT的大部分内容你已经掌握了,到了说再见的时候了……
再见啦~(挥手)
欲知后事如何,请看下集:NTT与多项式全家桶! (看完你会了解更多的多项式工业)

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