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不清楚和OI有没有关系的一些东西2

zzzethld_official
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@miqagygg
此快照首次捕获于
2025/12/04 01:36
3 个月前
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2025/12/04 01:36
3 个月前
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前情提要：不清楚和OI有没有关系的一些东西
条件概率公式：
P(A∣B)=P(AB)P(B)=P(B∣A)P(A)P(B)P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=\dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}
电容器的边缘效应是指，对于非理想平板电容器，电容器的边缘和角落处电荷密度较大，形成较强的边缘场。在电容器两板间距和板的大小处于同一数量级时不可忽略。我赌他不会考定量算这个。
螺线管好像也有个边缘效应，想起来的话会补一下。
打算写个篇幅大点的东西。

群论与数论（初步）

集合论基础知识不讲了。
对于集合 GG，若 ∀x,y∈G,x∗y∈G\forall x,y\in G,x*y\in G，则称 GG 对于二元运算 ∗* 封闭，或 ∗* 是 GG 上的二元运算。
称满足以下条件的集合 GG 和 GG 上的二元运算 ∗* 构成一个群：
  • ∀a,b,c∈G,(a∗b)∗c=a∗(b∗c)\forall a, b, c\in G,(a*b)*c=a*(b*c)，即 ∗* 在 GG 上满足结合律；
  • ∃e∈G,∀a∈G,a∗e=e∗a=a\exist e\in G,\forall a\in G,a*e=e*a=a，即存在幺元，或单位元；
  • ∀a∈G,∃a−1∈G,a∗a−1=a−1∗a=e\forall a\in G,\exist a^{-1}\in G,a*a^{-1}=a^{-1}*a=e，即存在逆元。
注意 ∗* 是 GG 上的二元运算，因此你可能还需要验证封闭性。
我们发现这套符号系统很像乘法，因此可以沿用类似乘法的方式，记幺元为 11，记 a∗ba*b 为 abab，记 kk 个 aa 连乘为 aka^k。
若群 GG 内仅有有限个元素，则称 GG 为有限群。若群 GG 内有无限个元素，则称 GG 为无限群。称有限群 GG 中元素的个数为 GG 的阶，记作 ∣G∣|G|。
我们参考子集和真子集的定义。对于群 GG，若集合 H⊆GH\subseteq G，且 HH 符合群的定义，则称 HH 为 GG 的子群，记作 H≤GH\le G（其实严格的定义不是这样的）。特别地，当 H≠GH\ne G 时，称 HH 为 GG 的真子群，记作 H<GH<G。我不知道为什么要用 << 号，可能是为了区分群本身作为集合时的子集。只要记住这里没有序关系就行了。
对于 GG 的子群 HH 和元素 a∈Ga\in G，定义 HH 的（左）陪集 aH={ah:h∈H}aH=\{ah:h\in H\}。
  • 根据 GG 的封闭性可得，aH⊆GaH\subseteq G。
  • 当 a∉Ha\notin H 时，aHaH 不是群，因为没有幺元。
直观理解一下：我们从 HH 外面选一个元素 aa，和 HH 内的所有元素乘一遍，肯定会得到一个大小为 ∣H∣|H| 的集合，记作 aHaH。首先我们发现，HH 和 aHaH 没有交集。如果我们在 HH 和 aHaH 之外再选一个 a′a'，则 H,aH,a′HH,aH,a'H 也两两不相交。换句话说，我们可以把 GG 划成一族大小为 ∣H∣|H| 的集合。于是就有我们的拉格朗日定理：
∀G,H<G,∃k∈Z,k∣H∣=∣G∣\forall G,H<G,\exist k\in Z,k|H|=|G|
对于群 GG 的任意子群 HH，∣H∣|H| 整除 ∣G∣|G|。
对于一个群 GG，若 ∃a∈G,∀b∈G,∃k∈Z,b=ak\exist a\in G,\forall b\in G,\exist k\in\mathbf{Z},b=a^k，则称 GG 为循环群。直观来看就是，群 GG 中的每一个元素都可以表示为 aa 的 kk 次幂。称 aa 为 GG 的生成元，记为 G=<a>G=\left<a\right>。当然，一个循环群内可能有多个元素可以作为它的生成元。
称 ∣<a>∣|\left<a\right>| 为元素 aa 的阶。显然有 a∣<a>∣=ea^{|\left<a\right>|}=e。
对于正整数 m≥2m\ge2，所有小于 mm 且与 mm 互素的整数对于模 mm 意义下的乘法构成一个群，其大小为 ϕ(m)\phi(m)。
验证群的定义：
  • 封闭；
  • 满足乘法结合律；
  • 存在幺元 11；
  • 存在逆元（裴蜀定理）。
同时它还是一个循环群，所有元素的阶都是 ϕ(m)\phi(m)，因此有 aϕ(m)=1(modp)a^{\phi(m)}=1\pmod{p}，即欧拉定理。
牵连速度：由于参考系运动（包括平动和转动）而产生的速度。
相对速度：质点在运动参考系下的速度。
绝对速度：质点在静止参考系下的速度，是相对速度与牵连速度的叠加。
整系数多项式全体组成的集合是可数集。
我们把整系数多项式每一项的系数提取出来，得到了有限个整数组成的序列。然后我们将每个整数作为质数的幂，就可以映射到正有理数（正系数在分子上，负系数在分母上），证明一一映射即可。

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