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How to understand CMVT with Feelingzzz

HHope888
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2025/12/04 06:32
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2025/12/04 06:32
3 个月前
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How to understand CMVT with Feelingzzz

设 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 是定义在区间 [a,b][a,b] 上的连续函数，并且在开区间 (a,b)(a,b) 上可导。如果 g′(x)g′(x) 在区间 (a,b)(a,b) 内不为零，则存在某个点 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)，
使得：
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

Proof

直接把 f(b)−f(a)f(b)-f(a) 抽象为一个斜率为 f(b)−f(a)b−a=kf\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=k_f 的一次函数，直接理解导数为 f′(x)=kff'(x)=k_f。
对 gg 做同样处理。
得到：
f(b)−f(a)=kf(b−a)f(b)-f(a)=k_f (b-a) g(b)−g(a)=kg(b−a)g(b)-g(a)=k_g (b-a)
即：
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=kfkg\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{k_f}{k_g}
又：
f′(ξ)=kf,g′(ξ)=kgf'(\xi)=k_f,g'(\xi)=k_g f′(ξ)g′(ξ)=kfkg\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{k_f}{k_g}
那么：
f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
证毕。

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