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三角代换&三角形中的恒等与不等关系

llalaji2010
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Part1 三角代换

通过对满足 A+B+C=πA+B+C=\pi 的 A,B,CA,B,C 进行代换联系二倍关系角。

1.1 半角代换

我们令 A=π2−A′2A=\frac{\pi}{2}-\frac{A'}{2}，称为用 π2−A′2\frac{\pi}{2}-\frac{A'}{2} 代换 AA，代入关于 A,B,CA,B,C 的式子得到半角关系。
若 A+B+C=πA+B+C=\pi，则容易观察得到 A′+B′+C′=πA'+B'+C'=\pi。
不过若 A,B,C∈(0,π)A,B,C \in (0,\pi)，则 A′,B′,C′∈(−π,π)A',B',C' \in (-\pi,\pi) 才能用其等价代换 A,B,CA,B,C。
我们发现，代换前后只是角的取值范围发生了变化。

1.2 二倍角代换

我们令 A=π−2A′A=\pi-2A'，代入关于 A,B,CA,B,C 的式子得到二倍角关系。
若 A+B+C=πA+B+C=\pi，则容易观察得到 A′+B′+C′=πA'+B'+C'=\pi。
此时若 A,B,C∈(0,π)A,B,C \in (0,\pi)，则 A′,B′,C′∈(0,π2)A',B',C' \in (0,\frac{\pi}{2}) 才能用其等价代换 A,B,CA,B,C。
同样我们也会发现，代换前后只是角的取值范围发生了变化。

1.3 AFFECT

下面我们探究该变化对于代换推导的影响。

1.3.1 对不等式进行代换推不等式

如果我们对欲推不等式中 A′,B′,C′A',B',C' 的范围有要求 A′,B′,C′∈(m,n)A',B',C' \in (m,n)，我们应该考虑对某个取值范围的 A,B,CA,B,C 进行完代换以后使 A′,B′,C′∈(m,n)A',B',C' \in (m,n)。即 （半角代换时）A,B,C∈(π−n2,π−m2)A,B,C \in (\frac{\pi-n}{2},\frac{\pi-m}{2})，或（二倍角代换时）A,B,C∈(π−2n,π−2m)A,B,C \in (\pi-2n,\pi-2m)，然后对这个范围中的 A,B,CA,B,C 求不等关系，而后进行代换即可。
若欲推的 A′,B′,C′A',B',C' 的要求取值集合 MM 与依据的 A,B,CA,B,C 的取值集合 NN 不相等，则应充分考虑取值范围的差异对不等关系的影响。

1.3.2 对恒等式代换推恒等式

由于对某个三角恒等式中的 A,B,CA,B,C 代换为 A′,B′,C′A',B',C' 时我们只用到了 A+B+C=π,A′+B′+C′=πA+B+C=\pi,A'+B'+C'=\pi 这个性质，而不对其取值范围做任何约束，所以由此推出的恒等式具有正确性。
注：加强命题，任何只用到 A+B+C=πA+B+C=\pi 推导出的三角恒等式在任何取值范围具有正确性（不然你猜 ta 为什么叫 恒等式）。

1.3.3 由代换推得的恒等式进行不等关系的转移

由此，我们对所推出恒等式中的 A,B,CA,B,C 作取值范围的约束时，仍有 LHS≡RHSLHS \equiv RHS，所以我们无论何时何地总能将恒等式两边互化。据此，我们若能够得到某约束条件下 LHSLHS 的不等关系，则其等价于该约束条件下 RHSRHS 的不等关系。

Prat2 三角恒等式

24 个常用三角恒等式致敬科比。

2.1 角恒等式

当 A+B+C=πA+B+C=\pi，我们能够推出一系列关于 A,B,CA,B,C 的恒等关系。
1.∑sin⁡A=4∏cos⁡A2.1.\sum\sin A=4 \prod \cos \frac{A}{2}.
2.∑sin⁡2A=4∏sin⁡A.2.\sum\sin 2A=4 \prod \sin A.
3.∑sin⁡3A=−4∏cos⁡32A.3.\sum\sin 3A=-4 \prod \cos \frac{3}{2}A.
4.∑sin⁡4A=−4∏sin⁡2A.4.\sum\sin 4A=-4 \prod \sin 2A.
5.∑cos⁡A=1+4∏sin⁡A2.5.\sum\cos A=1+4 \prod \sin \frac{A}{2}.
6.∑cos⁡2A=−1−4∏cos⁡A.6.\sum\cos 2A=-1-4 \prod \cos A.
7.∑cos⁡3A=1−4∏sin⁡32A.7.\sum\cos 3A=1-4 \prod \sin \frac{3}{2}A.
8.∑cos⁡4A=−1−4∏cos⁡2A.8.\sum\cos 4A=-1-4 \prod \cos 2A.
9.∑tan⁡A=∏tan⁡A9.\sum\tan A=\prod \tan A
10.∑cot⁡Acot⁡B=110.\sum\cot A\cot B=1
11.∑cot⁡A2=∏cot⁡A2.11.\sum\cot \frac{A}{2}=\prod \cot \frac{A}{2}.
12.∑tan⁡A2tan⁡B2=112.\sum\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}=1
13.∑sin⁡2A=2+2∏cos⁡A.13.\sum\sin^2A=2+2 \prod \cos A.
14.∑cos⁡2A=1−2∏cos⁡A.14.\sum\cos^2A=1-2 \prod \cos A.
15.∑sin⁡Acos⁡Bcos⁡=∏sin⁡A.15.\sum\sin A\cos B\cos =\prod \sin A.
16.∑sin⁡Asin⁡Bcos⁡=1+∏cos⁡A.16.\sum\sin A\sin B\cos =1+\prod \cos A.

2.2 几何恒等式

在 2.12.1 的基础上，我们将 A,B,CA,B,C 约束在 (0,π)(0,\pi)，使之构成三角形。由 1.3.21.3.2 得，2.12.1 中的所有恒等式仍适用。
于是我们用 A,B,C,RA,B,C,R 表示其他量（a,b,c,p,ra,b,c,p,r 等），可以得到一系列三角形中的几何恒等关系。
17.acos⁡A+bcos⁡B+ccos⁡C=4R∏sin⁡A.17.a\cos A+b\cos B+c\cos C=4R\prod\sin A.
未完待续。

三角不等式

一些三角轮换式的取值范围~~~

切不等式

弦不等式

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