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数论大学习3

DDJ_Liu
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@mindehmi
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2025/12/02 00:35
3 个月前
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2025/12/02 00:35
3 个月前
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我真的在学信息学竞赛吗
这是数竞吗
哦这不是数竞
数竞没这么难

群

若集合 G≠∅G\neq\varnothing 和在 GG 上二元运算 ∘\circ 构成的 (G,∘)(G, \circ) 为群，则满足：
  1. 封闭性：∀ a,b∈G,a∘b∈G\forall\text{ }a,b\in G, a\circ b\in G
  2. 结合律：∀ a,b,c∈G,a∘(b∘c)=(a∘b)∘c\forall\text{ }a,b,c\in G,a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c
  3. 单位元：∃ e∈G,s.t. ∀ a∈G,a∘e=e∘a=a\exist\text{ }e\in G, s.t.\text{ } \forall\text{ } a\in G, a\circ e=e\circ a=a
  4. 逆元：∀ a∈G,∃ a−1∈G,s.t. a∘a−1=a−1∘a=e\forall\text{ } a\in G, \exist \text{ }a^{-1}\in G,s.t.\text{ }a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e
例如 (R,+)(R, +) 就是一个群

子群

对于群 (G,∘)(G,\circ)，若 H⊆GH\subseteq G，且 (H,∘)(H, \circ) 也构成一个群，就称 (H,∘)(H,\circ) 是 (G,∘)(G, \circ) 的子群
例如 (Z,+)(Z,+) 就是 (R,+)(R, +) 的一个子群

陪集

对于群 (G,∘)(G,\circ) 的子群 (H,∘)(H,\circ)，对于 a∈Ga\in G, 令 aH={a∘h,h∈H}aH=\{a\circ h,h\in H\} 为 HH 的左陪集，Ha={h∘a,h∈H}Ha=\{h\circ a,h\in H\} 为 HH 的右陪集。
性质：
  1. ∀ g∈G,∣Hg∣=∣H∣\forall\text{ }g\in G, |Hg|=|H|
  2. ∀ g∈G,g∈Hg\forall\text{ }g\in G, g\in Hg
  3. Ha=H⇔a∈HHa=H\Leftrightarrow a\in H
  4. Ha=Hb⇔a⋅b−1∈HHa=Hb\Leftrightarrow a\cdot b^{-1}\in H
  5. Ha∩Hb≠∅⇒Ha=HbHa\cap Hb\neq\varnothing\Rightarrow Ha=Hb
  6. HH 的所有右陪集的并为 GG

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