我的一 Abel 群朋友（注释版）

Footnotes

1. Abel 群（Abelian group）是指对于任意二元素 $a,b$，都满足交换律，即 $ab=ba$ 的群²。有时 Abel 群的乘法可以称为加法，记作 $+$，单位元记作 $0$，逆元称作相反元，记作 $-a$。 ↩
2. 群（group）是一种代数结构，是附有一个二元运算 $\cdot$ 的集合 $S$，满足 $S$ 关于 $\cdot$ 封闭，$\cdot$ 在 $S$ 上满足结合律，存在（左和右的）单位元，且每个元素均有（左和右的）逆元。形式化的，$\cdot$ 是一个 $S^2\to S$ 的映射，且存在元素 $e\in S$ 和映射 $S\to S:a\mapsto a^{-1}$ 满足对于任意 $a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$，$e\cdot a=a\cdot e=a$，$a\cdot a^{-1} =a^{-1}\cdot a=e$。若无歧义，群 $(S,\cdot)$ 可以记作 $S$，$a\cdot b$ 可以记作 $ab$，单位元 $e$ 可以记作 $1$。 ↩ ↩²
3. 循环群（cyclic group）是指由一个元素即可生成²⁰的群。循环群分为有限循环群和无限循环群。有限循环群必然同构³⁰于 $\Z/n\Z$（即整数在模 $n$ 意义下加法组成的群），$n$ 是循环群的大小。$n$ 阶循环群可以记作 $C_n$。无限循环群必然同构于整数加法群 $\Z$。 ↩
4. 一个群被称作是有限生成群（finite generated group），当且仅当其存在一组有限的生成元²⁰。 ↩
5. 一些群 $\{G_i\}$ 的直积（direct product）是在其 Descartes 积³⁹上以逐个相乘为运算得到的群。例如，根据中国剩余定理，对于互质的正整数 $n,m$，$n$ 阶循环群³和 $m$ 阶循环群的直积同构于 $nm$ 阶循环群。直积可以用 $\times$ 表示，$n$ 个 $G$ 的直积可以用 $G^n$ 表示。 ↩ ↩²
6. 此定理被称作「有限生成 Abel 群分类定理」。事实上，根据中国剩余定理，循环群³可以进一步拆解为素数幂阶循环群的直积⁵，而素数阶循环群无法进一步拆分。这样拆分成素数幂阶循环群的本质不同分解的是唯一的。进一步地，素数阶循环群是单群⁴⁰，这也是下文「素数幂阶循环群，更特别是素数阶循环群，会更加知名」的原因。 ↩
7. 任取一个元素，其生成的子群必然是循环群。这个循环群的大小被称作元素的阶（order）。 ↩
8. 某个世界：指 OI。 ↩
9. Galois 域¹⁰的乘法群²²必然是循环群³。因此 $\Z/1\,048\,575\Z$ 就同构于下文提到的 $\mathbb F_{2^{20}}$ 的乘法群。这个定理的一个特例是模素数总是存在原根。 ↩
10. Galois 域（Galois field)，亦称有限域（finite field)，指元素个数有限的域⁴¹。例如，对于素数 $p$，$0\sim p-1$ 模 $p$ 意义下的运算构成了有限域 $\mathbb F_p$。Galois 域的元素个数必然是素数幂，且每个素数幂都对应一个互不同构³⁰的 Galois 域。记 $p^k$ 个元素的 Galois 域为 $\mathbb F_{p^k}$ 或 $GF(p^k)$。 ↩ ↩²
11. 域的加法群可以看作其素域⁴²上的线性空间。对于有限域，这个线性空间必然同构于 $(\Z/p\Z)^k$。 ↩ ↩²
12. 初等 Abel 群（elementary Abelian group）是满足所有非单位元的阶（order）都是同一个有限值的 Abel 群¹。这个阶一定是素数，设其为 $p$，其又可以称作为初等 Abel-$p$ 群。它可以看作 $\mathbb F_p$¹⁰ 上的线性空间²⁶，进而如果只考虑有限情况或承认选择公理³¹，可以写成若干循环群的直和⁴³³²。特别的，有限情况下直和等价于直积⁵，即有限初等 Abel $p-$群必然同构于某个 $p$ 阶循环群³在直积意义下的 $k$ 次方。 ↩
13. 对于同一个域 $\mathbb F$ 上的线性空间 $V,W$，一个线性变换（linear transformation）是指映射 $f:V\to W$，满足线性性：对于任意 $u,v\in V,a\in \mathbb F$，有 $f(u+v)=f(u)+f(v)$，$f(au)=af(u)$。 ↩
14. 一个线性空间的一个子集是线性无关的（linear independent），当且仅当其任意有限个元素在对应域上的线性组合⁴⁴为零当且仅当所有系数为零。否则称该子集为线性相关的（linear dependent）。 ↩
15. 并非不知道。矩阵群是由一些可逆矩阵组成的群。可逆矩阵可以看成是对向量的可逆线性变换¹³，也可以看成是线性无关¹⁴向量组，因此矩阵群设定上应当是对这些有了解的，只是故意隐瞒而已。 ↩
16. $n$ 维无限大网格随机游走对于 $n\le 2$ 是常返的（可知，走到任何一点的概率都是 $1$），但是对于 $n\ge 3$ 不是。对于 $n=3$，回到原点的概率约为 $34\%$。 ↩
17. 格（lattice）是一些 $n$ 维实向量的线性组合⁴⁴组成的集合，在密码学领域有很大应用。 ↩
18. 自由 Abel 群（free Abelian group），通俗地说，可以由一组元素 $S$ 生成²⁰，除了交换律没有其它任何特殊性质。这组元素 $S$ 被称为这个自由 Abel 群的一组基（basis）。 ↩ ↩²
19. 自由 Abel 群可以看作是若干整数加法群 $\Z$ 的直和 $\Z^{(S)}$。自由 Abel 群的任何元素有且仅有一种方式表为有限个基的整系数线性组合。而自由群没有简单的结构刻画。 ↩
20. 一个群 $G$ 的一组生成元（generators） $\{g_i\}$ 是指满足可以使用 $\{g_i\}$ 的有限次乘法和逆元得到群 $G$ 中的所有元素的一组元素。若 $\{g_i\}$ 是 $G$ 的一组生成元，称 $G$ 被 $\{g_i\}$ 生成（generate)。 一个群可以用它的生成元和生成元之间的关系展示，称其为一个群展示（group presentation）。例如，$n$ 阶循环群³ $C_n$ 的一个展示为 $\langle g|g^n=1 \rangle$。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴
21. 指自由 Abel 群的泛性质（万有性质，universal property）：设映射 $f:S\to G$，$G$ 是一 Abel 群。那么存在唯一的群同态⁴⁵ $f'$ 满足对于任意 $a\in S$ 有 $f(a)=f'(a)$。特别的，取 $f$ 为 $S$ 与 $G$ 的一组生成元双射，则 $f'$ 为该自由 Abel 群到 $G$ 的满射（即，所有元素群可被取到）。 ↩
22. 一个域的加法群（additive group）是其在其加法运算下组成的群，其乘法群（multiplicative group）是其非零元素在其乘法运算下组成的群。 ↩ ↩² ↩³
23. 复数（complex number）是形如 $z=a+b\mathrm i$ 的数，其中 $a,b$ 是实数，$\mathrm i$ 满足 $\mathrm i^2=-1$。$a,b$ 分别称为 $z$ 的实部和虚部，分别记作 $\mathbb Re(z)$ 和 $\Im(z)$。复数集记作 $\mathbb C$。复数 $z=a+b\mathrm i$ 的共轭（complex conjuate），记作 $\overline z$，等于 $a-b\mathrm i$。复数 $z=a+b\mathrm i$ 的模长（complex modulus）为 $\sqrt{a^2+b^2}$，记作 $|z|$，而非零复数 $z$ 的幅角（complex argument） $\arg z$ 定义为满足 $|z|\cos \theta=\mathbb Re(z),|z|\sin \theta=\Im(z)$，它一定存在，并且在差 $2\pi$ 的整数倍的意义下唯一。一个复数和它的共轭的和与积都是实数。 ↩ ↩² ↩³
24. 一个 Abel 群¹ $G$ 是可除群（divisible group）当且仅当对于任意正整数 $n$，任意元素 $g\in G$，都存在元素 $g'\in G$ 满足 $ng'=g$（$n$ 个 $g'$ 相加等于 $g$）。 ↩
25. 一个群²的挠元（torsion elements）是所有阶⁷有限的元素。如果一个群的挠元只有单位元，称其为一无挠群（torsion-free group）。 ↩
26. 一个域⁴¹ $\mathbb F$上的一个附有了加法（$+:V^2\to V$）和数乘（$\cdot:\mathbb F\times V\to V$）运算的集合 $V$ 是一个线性空间（linear space），亦称向量空间（vector space），当且仅当 $V$ 的加法构成了一个 Abel 群¹（记单位元为 $\mathbf{0}$），且对于任何 $p,q\in\mathbb F$，$X,Y\in V$，有 $p(qX)=(pq)X,p(X+Y)=pX+pY,(p+q)X=pX+qX,1X=X$。 ↩ ↩²
27. 根据定义不难验证，一个可除、无挠的 Abel 群可以看作为 $\mathbb Q$ 上的一个线性空间。 ↩
28. $\mathfrak c$ 表示连续统（continuum）基数，即实数集 $\mathbb R$ 的大小。 ↩
29. 线性空间的一组 Hamel 基（Hamel basis）是它的一个子集，满足该子集线性无关¹⁴，且该线性空间里的所有元素都可以写成其中有限个元素的线性组合⁴⁴。如果承认选择公理³¹，那么任何线性空间都有一组 Hamel 基³²，且所有 Hamel 基都等势，这个势被称为该线性空间的维数（dimension）。例如，OI 中说的「线性基」就是以异或为加法，在 $\mathbb F_2$¹⁰ 上的线性空间的 Hamel 基。 ↩ ↩² ↩³
30. 两个代数结构（如群、环、域、线性空间等）之间同构的双射（一一对应）的同态⁴⁵被称为同构（isomorphism）。两个代数结构是同构的（isomorphic）当且仅当其间存在一个同构。一般来说，可以认为同构的两个代数结构拥有相同的性质，很多时候可以认为是同一个代数结构。 ↩ ↩² ↩³
31. 选择公理（axiom of choice）是 ZFC 集合论⁴⁶中的一条公理，符合直觉，可以简化很多证明，但是可以推导出一些不符合直觉的结论，如分球怪论。 ↩ ↩² ↩³
32. 任何线性空间都有一组 Hamel 基²⁹，但是无限维的情况需要通过选择公理³¹证明。进一步地，在 ZF⁴⁶ 中，「任何线性空间都有 Hamel 基」等价于选择公理。 ↩ ↩² ↩³
33. 对于正整数 $n$ 和域⁴¹ $\mathbb F$，$\mathbb F$ 上的 $n$ 阶一般线性群（general linear group）是所有 $\mathbb F$ 上的 $n$ 阶可逆⁴⁷方阵⁴⁸以矩阵乘法为运算组成的群，记作 $GL(n,\mathbb F)$。更一般的，对于（可以是无限维的）线性空间²⁶ $V$，其到自身的可逆线性变换¹³在复合下组成的群，记作 $GL(V)$，称为 $V$ 上的一般线性群。因为矩阵可以看作线性变换，前者实际上是后者的特例。 ↩
34. 对于正整数 $n$，（对于实数）$n$ 维特殊正交群（special orthogonal group）是所有 $n$ 阶的行列式⁴⁹为 $1$ 的实正交⁵⁰方阵 $A$ 以矩阵乘法为运算组成的群，记作 $SO(n)$。可以简单理解成 $n$ 维空间中旋转组成的群。 ↩ ↩²
35. 圆群（circle group）是所有模长²³为 $1$ 的复数以乘法为运算组成的群。 ↩
36. 对于正整数 $n$，$n$ 阶酉群（unitary group）是所有 $n$ 阶酉矩阵⁵¹在矩阵乘法下组成的群。$1$ 阶酉群就是圆群³⁵。（如果认为 $1$ 阶方阵就是它的元素） ↩
37. 一个群表示³⁸是不可约的（irreducible）当且仅当其不变子空间⁵²要么是 $\{\mathbf 0\}$，要么是其本身。 ↩
38. 一个群的表示（representation）是一个群到一个一般线性群³³的同态⁴⁵。特别的，对于有限维的情况，可以理解成将群元素写成（可以相同的）$n$ 阶矩阵（看作对 $n$ 维向量的变换），使得群元素的乘法对应了矩阵乘法。这个线性空间的维数/方阵的阶被称为这个表示的维数（dimension）。 ↩ ↩²
39. 一些集合的 Descartes 积（Cartesian product）是所有从每个集合选一个元素得到的元组组成的集合。例如，两个 $\{0,1\}$ 的 Descartes 积为 $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$。 ↩
40. 单群（simple group）指正规子群⁵³有且仅有平凡群（仅由单位元组成的群）和其本身的群。 ↩
41. 域（field）是一个代数结构，是附有 $+,\times$（加法、乘法）两个运算的集合 $S$，满足 $S$ 在加法运算下构成一个 Abel 群¹（记其单位元为 $0$），$S$ 的非 $0$ 元素在乘法运算下构成一个 Abel 群（记其单位元为 $1$），且满足乘法分配律（即，任何 $a,b,c\in S$，有 $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$）。若无歧义，$a\times b$ 也可以记作 $ab$ 或 $a\cdot b$。例如，有理数集 $\mathbb Q$，实数集 $\mathbb R$，复数集 $\mathbb C$ 在一般的加法、乘法运算下都是域。 ↩ ↩² ↩³
42. 没有真子域⁵⁴的域被称为素域（prime field）。每个可能的特征⁵⁵都恰有一个素域：特征为 $p$ 的素域就是模 $p$ 运算组成的 Galois 域¹⁰ $\mathbb F_p$，而特征为 $0$ 的素域就是有理数域 $\mathbb Q$。每个域都恰有一个相同特征的子域为一个素域。 ↩
43. 一些群的直和（direct sum）类似于直积⁵，但是只能从有限个群里选择非单位元的元素。在有限个集合的情况下直和等价于直积。 ↩
44. 一些元素 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 以一个集合中的系数 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 的线性组合（linear combination）为 $\sum a_ib_i$。 ↩ ↩² ↩³
45. 对于两个代数结构 $G,H$，一个映射 $f:G\to H$ 被称为一个同态（homomorphism）当且仅当 $f$ 保持了对应代数结构的运算结构。例如，如果 $G,H$ 是群，那么这个条件是对于任意 $u,v\in G$，$f(uv)=f(u)f(v)$。 ↩ ↩² ↩³
46. Zermelo-Fraenkel 集合论（Zermelo-Fraenkel set theory），简称 ZF，是一种公理化集合论。其加上选择公理³¹组成的 ZFC 集合论是现代数学的基石。 ↩ ↩²
47. 一个方阵⁴⁸ $A$ 是可逆的（invertible）当且仅当存在 $B$ 满足 $AB=BA=I$，其中 $I$ 是单位矩阵。若 $B$ 存在则必然唯一，这个 $B$ 称为 $A$ 的逆（inverse），记作 $A^{-1}$。 ↩
48. 一个方阵（square matrix）是一个行数和列数相等的矩阵⁵⁶。$n$ 行 $n$ 列的方阵称为 $n$ 阶方阵。 ↩ ↩²
49. 一个 $n$ 阶方阵 $A$ 的行列式（determinant） $\det A$ 定义为对于所有 $n$ 阶排列 $\pi$，$\prod A_{i,\pi_i}$ 乘上 $(-1)^{\tau(\pi)}$ 的和，其中 $\tau(\pi)$ 表示 $\pi$ 的逆序对⁵⁷数量。 ↩
50. 一个可逆方阵 $A$ 是正交的（orthogonal）当且仅当其逆等于其转置。 ↩
51. 一个可逆复方阵 $A$ 是酉的（unitary），当且仅当它的共轭转置⁵⁸等于它的逆矩阵。 ↩
52. 对于一个线性空间上的一个群表示，这个线性空间的一个子空间⁵⁹是不变的（invariant），当且仅当对于其中任意一个线性变换，和这个子空间中的任意一个元素，它在这个线性变换作用下得到的像仍然属于这个子空间。 ↩
53. 一个群 $G$ 的子群⁶⁰ $H$ 被称为一个正规子群（normal subgroup）当且仅当对于任何 $g\in G,h\in H$ 有 $ghg^{-1}\in H$。 ↩
54. 若一个域的子集在相同的运算下仍然是一个域，则这个域是其一个子域（subfield）。非自身的子域被称为真子域（proper subfield）。 ↩
55. 一个域的特征为最小的正整数 $n$，满足 $n$ 个 $1$ 相加等于 $0$。特别的，若不存在，则特征为 $0$。可以证明，若特征不为 $0$，则特征必然是素数。 ↩
56. 一个矩阵（matrix）是由 $n$ 行 $m$ 列的数组成的数阵，称作一个 $n\times m$ 矩阵。矩阵的加法定义为逐个相加，而 $n\times m$ 矩阵 $A$ 和 $m\times k$ 矩阵 $B$ 的乘积定义为 $n\times k$ 矩阵 $C$，满足第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $C_{i,j}=\sum\limits_{\ell=1}^m A_{i,\ell}B_{\ell,m}$。矩阵乘法满足结合律，但是不满足交换律。$n\times m$ 的矩阵 $A$ 的转置（transpose） $A^T$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，满足它的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列。$n\times n$ 的单位矩阵（identity matrix）是对角线上是 $1$，其它地方都是 $0$ 的矩阵，记作 $I_n$，若无歧义可以记作 $I$。对于任意矩阵，其左乘、右乘合适大小的单位矩阵都不变。向量可以看作一行或一列的矩阵，矩阵按照对向量的乘法可以看作线性变换¹³。 ↩
57. 一个排列 $\pi$ 的一个逆序对（inversion）是指 $(i,j)$ 满足 $i<j$ 且 $\pi_i>\pi_j$。 ↩
58. 一个复矩阵的共轭转置（conjugate transpose）定义为它的转置的每个元素取共轭²³的结果。 ↩
59. 若一个线性空间²⁶的子集在相同的运算下仍然是线性空间，称这个空间是该空间的一个子空间（subspace）。 ↩
60. 若一个群的子集在相同的运算下仍然是一个群，则这个群是其一个子群（subgroup）。例如，$4$ 阶循环群 $C_4=\{1,g,g^2,g^3\}(g^4=1)$ 的子群有平凡子群 $\{1\}$、$\{1,g^2\}$ 和它本身。 ↩