高中数学课笔记

$2024.12.23$ 集合

符号语言

• 集合：$a \in A$。其中 $a$ 是元素，$A$ 是集合。$\in$ 读作属于。
• 空集：$\varnothing$。不含任何元素的集合。
• $A = B$ 完全相同的集合。

集合性质

• 确定性。
• 互异性。
• 无序性。

特殊集合

• 自然数：$\boldsymbol{N}$
  • 正整数：$\boldsymbol{N_{+}}$
• 整数：$\boldsymbol{Z}$
• 有理数：$\boldsymbol{Q}$
• 实数：$\boldsymbol{R}$

• 有限集：有限个元素。
• 无限集：无限个元素。
• 空集属于有限集。

表示方法

列举法

描述法

列举/描述法示例

• 列举法：$N = \{0 , 1 , 2 , 3 , \dots\}$
• 描述法：$Q = \{x | x = \frac{q}{p} , p \in \boldsymbol{Z} , q \in \boldsymbol{Z}\}$

基本关系

包含

• $A \subseteq B$：$A$ 包含于 $B$
• $B \supseteq A$：$B$ 包含 $A$

特殊情况

• $A \subseteq A$
• $\varnothing \subseteq A$

真包含

区间

• $\{x | a \le x \le b\} = [a , b]$。
  • 闭区间。
• $\{x | a < x < b\} = (a , b)$。
  • 开区间。
• $\{x | a \le x < b\} = [a , b)$。
  • 左闭右开。
• $\{x | a < x \le b\} = (a , b]$。
  • 左开右闭。

• $\{x | x \le b\} = (-\infty , b]$。
• $\{x | a \le x\} = [a , \infty)$。
• $\boldsymbol{R} = (-\infty , \infty)$。

韦恩图

集合基本运算

• $A$ 和 $B$ 的交集：$A \cap B$。
  • $A \cap B = \{x | x \in A \land x \in B\}$

• $A$ 和 $B$ 的并集：$A \cup B$。
  • $A \cup B = \{x | x \in A \lor x \in B\}$

集合基本运算交换律

交集

• $A \cap B = B \cup A$
• $A \cap A = A$
• $A \cap \varnothing = A$
• 若 $A \subseteq B$，则 $A \cap B = A$
• $A \cap B \cap C = A \cap C \cap B = B \cap A \cap C = B \cap C \cap A = C \cap A \cap B = C \cap B \cap A$

并集

• $A \cup B = B \cup A$
• $A \cup A = A$
• $A \cup \varnothing = A$
• 若 $A \subseteq B$，则 $A \cup B = B$
• $A \cup B \cup C = A \cup C \cup B = B \cup A \cup C = B \cup C \cup A = C \cup A \cup B = C \cup B \cup A$

补集

• $\complement_{U} A \cap A = \varnothing$
• $\complement_{U} A \cup A = U$
• $\complement_{U} (\complement_{U} A) = A$

今日份闲话

• 正确答案：$\{0 , 1\}$。
• Answer$1$：$\{x | x(x - 1) = 0\}$。
• Answer$2$：$\{x | x = 0 \lor x = 1\}$。

$2024.12.25$ 常用逻辑用语

命题

量词

• 任意
• 每一个
• 所有的
• 存在

• 至少有一个
• 有

---

• 任意：$\forall$。
• 存在：$\exist$。
• 存在且唯一：$\exist{1}$。

---

• $\forall$：全真才真、一假就假。
• $\exist$：一真就真、全假才假。

量词命题

• 例 $1$：
  • 任意给定实数 $x$，$x^2 \ge 0$。
  • $\forall x \in \boldsymbol{R} , x^2 \ge 0$。
• 例 $2$：
  • 存在有理数 $x$，使得 $3x - 2 = 0$。
  • $\exist x \in Q$ 使 $3x - 2 = 0$。

否定命题

• 若 $P$ 为真，则 $\lnot P$ 为假，否则 $\lnot P$ 为真。
• $\forall x \in M , P(x)$ --> 否定 $\exist x \in M , \lnot P(x)$。
• $\exist x \in M , P(x)$ --> 否定 $\forall x \in M , \lnot P(x)$。

命题与集合

充分条件/必要条件

逆否命题

• 原命题为真，逆否命题为真。
• 原命题为假，逆否命题为假。
• 例 $1$：
  • 原命题：如果 $x > 3$，那么 $x^2 > 9$。
  • 逆命题：如果 $x^2 > 9$，那么 $x > 3$。
  • 逆否命题：如果 $x^2 \le 9$，则 $x \le 3$。
• 例 $2$：
  • 原命题：如果 $|x| > 3$，那么 $x^2 > 9$。
  • 逆命题：如果 $x^2 > 9$，那么 $|x| > 3$。
  • 逆否命题：如果 $x^2 \le 9$，则 $|x| \le 3$。

充要条件

• 所有判定都是充分条件。
• 所有性质都是必要条件。
• 所有定义都是充要条件。

$2024.12.25$ 等式

等式与不等式

• 用等号（$=$）连接的式子叫做等式。
• 用不等号（$\neq$ 等）连接的式子叫做不等式。

恒等式

$2024.12.27$ 一元二次方程

解法

• 十字相乘。
• 配方。
• 公式。

• 十字相乘：$(x + 2) \times (x + 4) = 0$
• 公式法：$\frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4 \times 1 \times 8}}{2}$
• 配方法：$(x + 3)^2 - 1 = 0$ 答案：$x = -2$ 或 $-4$。

一元二次方程的解集

• 单个元素：$x \in \{2 , 3\}$。
• 多个元素：$(x,y) \in \{(1 , 2) , (2 , 1)\}$、$(a , b , c) \in \{(1 , 2 , 3) , (3 , 2 , 1) , (2 , 3 , 1)\}$。

$n$ 元一次方程

唯一解

多解的表示法

一元二次方程解集及其根与性质的关系

• $\Delta = b^2 - 4 \times a \times c$
  • $\Delta > 0$：$\{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\times a} , \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\times a}\}$
  • $\Delta = 0$：$\{\frac{-b}{2 \times a}\}$
  • $\Delta < 0$：$\varnothing$

求一元二次方程的变种

• 例 $1$：求 $x - 2 \sqrt{x} - 1 = 0$ 的解集
  • 解：令 $\sqrt{x} = t (t \ge 0)$，则 $x = t^2$
  • 原方程变为 $t^2 - 2t - 1 = 0$
  • $t = 1 + \sqrt{2}$ 或 $1 - \sqrt{2}$（舍）。
  • $x = t^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2 \sqrt{2}$
• 例 $2$：求 $x^4 - x^2 - 2 = 0$ 的解集
  • 解：令 $x^2 = t (t \ge 0)$，则 $x = \pm \sqrt{t}$
  • 原方程变为 $t^2 - t - 2 = 0$
  • $t = 2$ 或 $-1$ （舍）。
  • $x = \pm \sqrt{t} = \pm \sqrt{2}$。
  • $x = \{- \sqrt{2} , \sqrt{2}\}$

不等式性质的推论

• 若 $a > b , \forall c \in \boldsymbol{R} \implies a \pm c > b \pm c$。
• 若 $a > b , \forall c \in(0 , +\infty) \implies ac > bc , \frac{a}{c} > \frac{b}{c}$。
• 若 $a > b , \forall c \in(-\infty , 0) \implies ac < bc , \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$。
• $a > b , b > c \implies a > c$
• $a + b > c \implies a > c - b$
• $a > b , c > d \implies a + c > b + d$
• $a > b > 0 , c > d > 0$ 时 $\implies ac > bd$
• 若 $a > b > 0$，那么 $a^n > b^n(n \in \boldsymbol{N_{+}})$。
• 若 $a > b > 0$，则 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$。

反证法

• 已知 $p$，要证 $q$。
• 证明：假设 $q$ 不成立（$\lnot q$ 成立）
• $\cdots\ \!\cdots$
• $p$ 不成立（$\lnot p$ 成立）
• $\therefore q$ 一定成立，$q$ 得证。

证明 $a < b$ 问题

基本方法

• 作差法：$a - b < 0$。
• 作商法：$\frac{a}{b} < 1$。

其他做法

• 证明 $\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}$。
• 证明：若证 $\sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}$ $\bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 1$
• 只需证 $3 + 7 + 2\sqrt{21} < 20$ $\bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 2$
• 即 只需证 $\sqrt{21} < 5$ $\bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 3$
• 即 只需证 $21 < 25$，自然成立。$\bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 4$
• $\bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 4 \implies \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 3 \implies \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 2 \implies \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 1$

今日份闲话

$2025.1.12$ 求解一元二次不等式

不等式的解集

• 例 $1$ 一次不等：$2 \times x + 1 > 5 \iff 2 \times x > 4 \iff x > 2$
  • 解集：集合 $\{x | x > 2\}$

不等式组的解集

绝对值方程

• 平方法：

• 去绝对值符号：

• 画图法（利用数轴）：

含有参数的不等式

• $ax > 1$：
  • 当 $a = 0$ 时，原不等式无解。
  • 当 $a > 0$ 时，$ax > 1 \iff x > \frac{1}{a}$。
  • 当 $a < 0$ 时，$ax > 1 \iff x < \frac{1}{a}$。
• $ax > 1$ 解集的表示法：
  • 当 $a = 0$ 时，原不等式的解集为 $\varnothing$。
  • 当 $a > 0$ 时，原不等式的解集为 $\{x | x > \frac{1}{a}\}$。
  • 当 $a < 0$ 时，原不等式的解集为 $\{x | x < \frac{1}{a}\}$。

注意事项

• $>$ 和 $\ge$、$<$ 和 $\le$ 不可混用。
• 不等式两边同乘一个负数要变换不等号方向。
• 开平方、绝对值等要考虑正负两种情况。
• 答案要写成集合形式。

一元二次不等式

一元二次不等式的解法

• 转换为绝对值：$x^2 > 2 \iff |x|^2 > 2 \iff |x| > \sqrt{2}$。
• 分解因式：$x^2 - 4 > 0 \iff (x + 2)(x - 2) > 0 \iff \begin{cases} x + 2 > 0 \\x - 2 > 0 \end{cases} \text{或} \begin{cases} x + 2 < 0 \\x - 2 < 0 \end{cases} \iff x > 2 \text{或} x < -2$

• 若 $\Delta = b^2 - 4ac < 0$：
  • $a > 0$：$x \in \boldsymbol{R}$。
  • $a < 0$：$\varnothing$。
• 若 $\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$：
  • $a(x - x_1)(x - x_2) > 0$。
  • $a > 0$：$(x - x_1)(x - x_2) > 0$。
  • $a < 0$：$(x - x_1)(x - x_2) < 0$。

• 若 $\frac{A}{B} > 0 \iff AB > 0 \iff (x + 1)(x - 1) > 0 \iff x > 1 \text{或} x < -1$

$2025.01.12$ 均值不等式

推导

务必检验能不能取等号

$2025.01.13$ 函数

变量

• $x$ 自变量。
• $y$ 因变量。

集合与函数的关系

• $x$ 变化范围 $A$
• $y$ 变化范围 $B$

• 例 $1$：
  • $f(x) = x + 2, x \in \boldsymbol{R}$
  • 
• 例 $2$：
  • $f(x) = 2 \times \sqrt{x} + \frac{1}{x}, x \in \boldsymbol{R}(x \neq 0)$
  • 

函数的表示方法

• 列表法
  • 自变量在上面，因变量在下面
• 图像法
• 解析式法

解函数题目

• 例 $1$：
  • 已知 $f(x - 1) = x^2$，求 $f(x)$
  • $f(x - 1) = (x - 1)^2 + 2(x - 1) + 1$
  • $f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
• 例 $2$：
  • 已知 $f(x) = (x - 1)^2$，求 $f(x + 1)$
  • $f(x + 1) = ((x + 1) - 1)^2 = x^2$ 例 $3$：
  • 已知 $f(x + 1) = (x - 1) ^ 2$，求 $f(x)$
  • $f(x + 1) = x^2 - 2x + 1$
  • $f(x + 1) = (x + 1)^2 - 4x = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4$
  • $f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$

$2025.01.14$ 函数

增减函数

• $\forall x_1 , x_2 \in \boldsymbol{I}$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $\boldsymbol{I}$ 上是增函数（单调递增）。
• $\forall x_1 , x_2 \in \boldsymbol{I}$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在 $\boldsymbol{I}$ 上是减函数（单调递减）。

• 例 $1$：
  • 求证函数 $f(x) = -2x$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上是减函数。
  • 证明：任取 $x_1 , x_2 \in \boldsymbol{R}$，且 $x1 < x2$ 时，$x2 - x1 > 0$。
  • $f(x_1) - f(x_2) = -2x_1 + 2x_2 2(x_2 - x_1) > 0$
  • 所以 $f(x_1) > f(x_2)$
  • 所以 $f(x) = -2x$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上单调递减。

函数最值

• $\forall x \in D$，都有 $f(x) \le f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为函数的最大值，$x_0$ 为函数的最大值点。
• $\forall x \in D$，都有 $f(x) \ge f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为函数的最小值，$x_0$ 为函数的最小值点。

• 例 $1$：
  • 求 $f(x) = x^2 + 3x + 1$ 在 $[-\frac{3}{2} , + \infty)$ 上的单调性。
  • 证明：任取 $x_1 , x_2 \in [-\frac{3}{2} , + \infty)$ 且 $x_1 < x_2$，$x_1 + x_2 + 3 > 0$，$x_1 - x_2 < 0$。
  • $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 + 3x_1 - x_2^2 - 3x_2$
  • $= (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + 3(x_1 - x_2)$
  • $= (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) < 0$ 且 $-3 < x_1 - x_2 < 0$
  • 所以 $f(x)$ 在 $[-\frac{3}{2} , +\infty)$ 上单调递增。
• 例 $2$：
  • 求 $f(x) = 2x^2 + 6 , x \in [-5 , 3]$ 的单调区间和函数最值。
  • 证明：任取 $x_1 , x_2 \in [-5 , -\frac{3}{2}] , x_1 < x_2$
  • $f(x_1) - f(x_2) = 2(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) > 0$
  • $f(x_1) > f(x_2)$
  • 所以 $f(x)$ 在 $[-5 , -\frac{3}{2}]$ 上单调递减。
  • 任取 $x_1 , x_2 \in (\frac{3}{2} , 3] , x_1 < x_2$
  • $f(x_1) < f(x_2)$
  • 所以 $f(x)$ 在 $(\frac{3}{2} , 3]$ 上单调递增。
  • $f(x)_{\min} = f(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{2}$
  • $f(x)_{\max} = f(3) = 36$

平均变化率

• 例 $1$：
  • 求 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(-\infty , 0)$ 上的单调性。
  • 证明：任取 $x_1 , x_2 \in (-\infty , 0)$ 且 $x_1 \ge x_2 , x_1 > x_2$
  • 则 $f(x_1) = \frac{1}{x_1} , f(x_2) = \frac{1}{x_2}$
  • $f(x_1) < f(x_2)$
  • 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty , 0)$ 上单调递减。

函数的奇偶性

对称点：

• $(x , y)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $(x , -y)$
• $(x , y)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $(-x , y)$
• $(x , y)$ 关于原点的对称点为 $(-x , -y)$

偶函数

• 若 $(x , y)$ 在图像上，则 $(-x , y)$ 也在图像上。
• 定义域 $D$ 关于原点对称。
• 函数图像关于 $y$ 轴对称。

奇函数

• 若 $(x , y)$ 在图像上，则 $(-x , -y)$ 也在图像上。
• 定义域 $D$ 关于原点对称。
• 函数图像关于原点对称。
• $f(0) = 0$（$0$ 属于定义域）

奇偶关系

• 奇函数 $+$ 奇函数 $=$ 奇函数
• 偶函数 $+$ 偶函数 $=$ 偶函数
• 奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数
• 偶函数 $\times$ 偶函数 $=$ 偶函数

$2025.01.15$ 研究函数

研究函数的方法

1. 定义域
2. 值域
3. 奇偶性
4. 单调性
5. 取几个关键点

$2025.01.15$ 函数的零点

零点的存在性定理

• 例 $1$：
  • 求证 $f(x) = x^3 - 2x + 2$ 中至少有 $1$ 个零点
  • $f(-2) = -2$
  • $f(0) = 2$
  • $f(-2) \times f(0) < 0$
  • 所以 $f(x) = x^3 - 2x + 2$ 中至少有 $1$ 个零点。

今日份闲话：AK 必修一！

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$2025.05.06$ 指数函数

实数指数幂及其运算

• $a^m(m < 0) = \frac{1}{a^{|m|}}$
• $(a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn}$
• $ab^m = a^m b^m$
• $a^m a^n = a^{m + n}$
• $a^2 = 9 \iff a = \pm 3$
• $\sqrt{a} = b(a \ge 0 , b \ge 0)$
• $\sqrt{x}$ 读作 $x$ 的算数平方根。
• $\sqrt[n]{a}$：
  • 当 $n$ 为偶数：$a \ge 0$。
  • 当 $n$ 为偶数：$a \in \boldsymbol{R}$
• 当 $\sqrt[n]{a}$ 有意义时：$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

• 假设 $a^{\frac{1}{n}} \le b^{\frac{1}{n}}$，即 $a^{\frac{1}{n}} < b^{\frac{1}{n}}$ 或 $a^{\frac{1}{n}} = b^{\frac{1}{n}}$。
• 根据不等式的性质与根式的性质，得 $a < b$ 或 $a = b$。
• 与 $a > b$ 矛盾。
• 因此假设不成立。
• 得证。

• $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3^{10}}}}{\sqrt[3]{9}} = \frac{(\sqrt{3^{10}}^\frac{1}{3})}{9^{\frac{1}{3}}} = \frac{(3^5)^{\frac{1}{3}}}{(3^2)^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = 3^1 = 3$

无理数作指数

• 定义域 $(-\infty , \infty)$，值域 $(0 , \infty)$。
• $a > 1$：递增。
• $0 < a < 1$：递减。
• 必过 $(0 , 1)$。

• $0.8^{-0.1} < 0.8^{-0.2}$
• $2.5^{a} < 2.5^{a + 1}$

• $a > b$
• $6^a > 6^b$

$2025.05.08$ 对数函数

对数

• 当 $a = 10$ 时：$b = \log_{10} N = \lg n$（常用对数）。
• 当 $a = e$ 时：$b = \log_e N = \ln N$（自然对数）。

对数的运算

• $\log_a (m \times n) = \log_a M + \log_a N$
• $a^b = N, b = \log_a N \implies a^b = a^{log_a N}$
• $\log_a M^b = b \log_a M$
• $\log_a \frac{M}{N} = \log_a m - \log_a N$
• $\log_a b = \frac{\log_m b}{\log_m a}$
• $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$

对数函数

• 定义域：$(0 , +\infty)$。
• 值域：$(-\infty , +\infty)$。
• 过定点：$(1 , 0)$。
• 单调性：
  • $a > 1$ 时递增。
  • $0 < a < 1$ 时递减。

$2025.05.10$ 函数行性质

复合函数

• 内外层函数单调性一致：单调递增。
• 内外层函数单调性不一致：单调递减。

凹凸性

• 若 $f(x_1) + f(x_2) > f(x_1 + x_2)$ 则函数是凸函数。
• 若 $f(x_1) + f(x_2) < f(x_1 + x_2)$ 则函数是凹函数。
• 若 $f(x_1) + f(x_2) = f(x_1 + x_2)$ 则函数是一次函数。
• 运用在函数中的一段上同理。

单调性

• 例 $1$：求 $x < 0$ 时，$f(x)$ 的解析式。
  • 令 $x < 0$，则 $-x > 0$。
  • 因为 $f(x)$ 是奇函数。
  • 所以 $f(- x) = -\log_{\frac{1}{2}}(-x)$。
• 求不等式 $f(x) \le 2$ 的解集。
  • $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\ (0 < x \le 2)\ \cup\ -\log_{\frac{1}{2}}(-x)\ (x < 0)$
  • $x > \frac{1}{4}$ 或 $-4 \le x < 0$。

$20250520$ 幂函数

• $y = kx^2$（抛物线）
• $y=kx^{-1}$（反比例函数，双曲线）

$20250520$ 平面向量及其线性运算

向量是什么

• 方向：$\overrightarrow{A\ \ B}$ 或 $\vec{a}$。
• 长度：$|\overrightarrow{A\ \ B}|$ 或 $|\vec{a}|$（一个向量的模）。
• 有方向的线段 $=$ 矢量、位移、向量。
• 无方向的线段 $=$ 标量、路程。

方向相关

• 若向量 $a , b$ 方向相同且长度相同，则 $\vec{a} = \vec{b}$。
• 若向量 $a , b$ 方向相同或相反但是 $a$ 的长度是 $b$ 的 $\lambda$ 倍，则 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$（若 $\lambda$ 为正数则方向相同，若 $\lambda$ 为负数则方向相反，若 $\lambda = 0$ 则 $\vec{a} = \vec{0}$）。
• 若 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 方向相同或相反，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 平行或共线。

$20250520$ 向量的加法

向量减法

向量乘法

$20250524$ 向量的基本定理与向量的坐标

共线向量的基本定理

• 满足 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$（$\vec{b}$ 为非 $\vec{0}$，$\vec{a} // \vec{b}$），则 $\lambda$ 唯一。
• 若 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$，且 $\lambda \neq 0$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 一定共线。
• 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，且 $\vec{b}$ 为非 $\vec{0}$，则 $\lambda$ 唯一。

平面向量的基本定理

• $x$ 轴单位向量：$\vec{i}$
• $y$ 轴单位向量：$\vec{j}$
• 如果平面内两个向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，则对该平面内任意一个向量 $\vec{c}$，存在唯一的实数对 $(x , y)$，使得 $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$。
• 基底：$\{\vec{a} , \vec{b}\}$（不共线）。
• 基底 $\{\vec{a} , \vec{b}\}$ 的分界式：$\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$

• 因为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，所以

$2025.06.02$ 向量的坐标

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