题解：CF2160C Reverse XOR

题意易懂，这里不再赘述。
以下对于字符串的描述，下标均以 $1$ 开始。
简单分析一下：
对于由数字 $x$ 转换而来的 $01$ 串 $S_x$，第 $i$ 位的数字翻转后将会对应到第 $|S_x| - i + 1$ 位，其中 $|S|$ 指字符串 $S$ 的长度。相反地，第 $|S_x| - i + 1$ 位的数字在翻转后将会对应到第 $i$ 位。
由此我们可以得出结论：对于由数字 $n$ 转换而来的 $01$ 串 $S_n$，第 $j$ 位的值必须要和第 $S_n - j + 1$ 位相等（也就是说， $S_n$ 是一个回文串），否则 $x \oplus f(x) = n$ 不成立。
由异或的性质可得，如果异或值为 $0$，那么这一位上的两个数相等。不难发现，对于 $S_n$ 的每一个后缀零，我们在 $S_n$ 的前方添加前导零，是不会影响正确性的判断的。
这一部分可能有点难懂，举个例子：对于 $3$，它的二进制表示是这样的：11。不难发现，当 $x = 2$ 时，有 $2 \oplus f(2) = 3$。随后，我们在 11 前后各添加一个 0，变为 0110，即十进制数 $6$。可以发现，只需要在 $2$ 的二进制表示 $10$ 前后各添加一个相同的数，异或串的前后就会各多出一个 0，满足我们之前在串前后增加的 0。
最后，如果补充完前导零后的 $|S_n|$ 为一个奇数，那么第 $\dfrac{|S_n| + 1}{2}$ 位（即中间位）应当为 $0$。因为此时，翻转前和翻转后的第 $\dfrac{|S_n| + 1}{2}$ 位的值一定相等，所以异或值一定为 $0$。