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高等代数 1 期末复习

QQiuly
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四. 向量空间和线性映射

4.7 对偶空间

对 FF-向量空间的 VV 定义 对偶空间 V\orV^\or 为 Hom(V,F)\mathrm{Hom}(V,F) 。
由此定义线性映射 T:V→WT:V\rightarrow W 的 转置映射 tT{}^tT 为 W\or→V\orW^\or \rightarrow V^\or，表现为 λ→λT\lambda\rightarrow \lambda T 。容易验证转置矩阵仍是线性映射。
在 VV 有限维情况下，有 dim⁡V=dim⁡V\or\dim V=\dim V^\or 。如下给出具体的基映射：
【4.7.8（对偶基）】对于 VV 的基 v1,⋯ ,vnv_1,\cdots,v_n，定义其对偶基为：
vˇi∈V\or:vˇi(∑j=1nxjvj)=xi\check v_i\in V^\or:\quad \check v_i\left(\sum\limits_{j=1}^{n}x_jv_j\right)=x_i
其形式类比投影映射。
以 FnF^{n} 为例，原空间的基为列向量，对偶基的表现形式为行向量。
由对偶基的定义易推 tT^tT 对应的矩阵为 TT 对应的矩阵的转置。

4.8 ker 和 im

线性映射 T:V→WT:V\rightarrow W 的 ker 定义为 T−1(0)T^{-1}(0)，im 则形象地由名给出其意义。ker⁡T\ker T 是 VV 的子空间，im T\mathrm{im}\ T 是 WW 的子空间。
ker 的重要性在于其描述了 TT 的纤维 —— 试想圆柱打向圆平面的线性映射。另外，从 ker 与 im 能直接说明一个线性映射有关单满的信息。
【4.8.4】对有限维 VV，我们有：
dim⁡V=dim⁡(ker⁡T)+dim⁡(im T)\dim V=\dim (\ker T)+\dim (\mathrm{im}\ T)
证明取基操演即可。由此相等维数线性空间之间的映射的单满性得到了联系。
由此定义矩阵的 秩 为 dim⁡(im T)\dim(\mathrm{im}\ T) 。
【4.8.8（Sylvester 不等式）】对于线性映射 U→TV→SWU\stackrel{T}\rightarrow V\stackrel{S}\rightarrow W，设 VV 有限维，有：
rk(ST)≥rk(S)+rk(T)−dim⁡V\mathrm{rk}(ST)\geq \mathrm{rk}(S)+\mathrm{rk}(T)-\dim V
按定义，rk(ST)rk(ST) 为 dim⁡(im(T))−dim⁡(im(T)∩ker⁡(S))\dim(\mathrm{im}(T))-\dim(\mathrm{im}(T)\cap \ker(S)) 。由此要证明 dim⁡V−rk(S)≥dim⁡(im(T)∩ker⁡(S))\dim V-\mathrm{rk}(S)\geq \dim(\mathrm{im}(T)\cap \ker(S)) 。左侧是 dim⁡ker⁡(S)\dim \ker(S) 。
以下是一个推广：
【4.8.9（Frobenius 不等式）】rk(RST)≥rk(RS)+rk(ST)−rk(S)\mathrm{rk}(RST)\geq \mathrm{rk}(RS)+\mathrm{rk}(ST)-\mathrm{rk}(S) 。
同理进行拆分：
rk(RST)=dim⁡(im(ST))−dim⁡(im(ST)∩ker⁡(R))≥dim⁡(im(ST))−dim⁡(im(S)∩ker⁡(R))rk(RS)=dim⁡(im(S))−dim⁡(im(S)∩ker⁡(R))\begin{aligned} rk(RST)&=\dim (\mathrm{im}(ST))-\dim(\mathrm{im}(ST)\cap\ker(R))\\ &\geq \dim (\mathrm{im}(ST))-\dim(\mathrm{im}(S)\cap\ker(R))\\ rk(RS)&=\dim(\mathrm{im}(S))-\dim(\mathrm{im}(S)\cap\ker(R)) \end{aligned}

4.9 基的变换：矩阵的共轭与相抵。

线性映射 T:V→WT:V\rightarrow W 在两侧选定基 v1,⋯ ,vnv_1,\cdots,v_n 与 w1,⋯ ,wmw_1,\cdots,w_m（记顺序）以后，其可以用矩阵描线。这体现为向量空间的同构：
M:Hom(V,W)→∼Mm×n(F)\mathcal{M}:\mathrm{Hom}(V,W)\stackrel{\sim}\rightarrow \mathrm{M}_{m\times n}(F)
将选定有序基 v,w\mathbf{v},\mathbf{w} 后相应的 M\mathcal{M} 记为 Mvw\mathcal{M}_{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}} 。
记 Pv′v\mathcal{P}_{\mathbf{v'}}^{\mathbf{v}} 意在描述 v′\mathbf{v}' 到 v\mathbf{v} 的坐标转换，从 (x′)→(x)(x')\rightarrow (x) 满足 ∑xi′vi′=∑xivi\sum x'_iv'_i=\sum x_iv_i 。将 Pv′v\mathcal{P}_{\mathbf{v'}}^{\mathbf{v}} 视同矩阵：
(v1′(v)∣⋯∣vn′(v))\left(v_1'(\mathbf{v})\mid\cdots \mid v_n'(\mathbf{v})\right)
由此，可逆的 Pv′v\mathcal{P}_{\mathbf{v'}}^{\mathbf{v}} 充分描述了基的转换。由矩阵的逆提供基的还原。
**【4.9.5（共轭 & 相似）】**对于 A,B∈Mn×n(F)A,B\in \mathrm{M}_{n\times n}(F) 若存在 P∈Mn×n(F)P\in\mathrm{M}_{n\times n}(F) 可逆且有 B=P−1APB=P^{-1}AP，则称 AA 和 BB 共轭（相似）。
**【4.9.8（相抵）】**称 A,B∈Mm×n(F)A,B\in\mathrm{M}_{m\times n}(F) 相抵，若存在 Q∈Mm×m(F)Q\in \mathrm{M}_{m\times m}(F) 和 P∈Mn×n(F)P\in\mathrm{M}_{n\times n}(F) 皆可逆，且有：B=QAPB=QAP 。
【4.9.9】两个矩阵相抵的充要条件是 rk(A)=rk(B)\mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(B) 。
通过初等行列变换可以将 A,BA,B 均消元得到一个主对角线上前 rr 个为 11，剩下所有元素为 00 的矩阵。不妨简记为 DrD_r 。由此也能直接推导出 "行秩等于列秩" 的等式。

4.10 直和分解

对于 VV 的任意子空间 V0,V1V_0,V_1 有：
dim⁡(V0)+dim⁡(V1)=dim⁡(V0∩V1)+dim⁡(V0+V1)\dim(V_0)+\dim(V_1)=\dim(V_0\cap V_1)+\dim(V_0+V_1)
由外直和构造 T:V0⊕V1→VT:V_0\oplus V_1\rightarrow V 利用 4.8.4 直接得到。

4.12 商空间

【4.12.5（余核）】线性映射 T:V→WT:V\rightarrow W 的余核定义为 WW 对 im(T)\mathrm{im}(T) 的商空间：
coker(T):=W/im(T)\mathrm{coker}(T):=W/\mathrm{im}(T)
反过来有：
im(T)=ker⁡(W→qcoker(T))im(T)=\ker\left(W\stackrel{q}\rightarrow\mathrm{coker}(T)\right)
进行商映射更像是维度分裂，这点在正交空间的部分可以有更形象的印象。

五. 行列式

5.4 行列式的定义与基本性质

det⁡A=De(Ae1,⋯ ,Aen)=∑σsgn(σ)∏i=1naσ(i),i\begin{aligned} \det A&=D_e(Ae_1,\cdots,Ae_n)\\ &=\sum_{\sigma}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i} \end{aligned}
DeD_e 是交错形式的内容。

5.8 特征多项式和 Cayley-Hamilton 定理

以多项式 f=∑k=0makXk∈F[x]f=\sum\limits_{k=0}^{m}a_kX^k\in F[x] 带入 TT 的产物记为 f(T)f(T)，分析维数可知欲使 f(T)=0f(T)=0 可以找到 deg⁡f≤n2\deg f\leq n^2 的解。
进一步，当 TT 可逆时，通过消去 TT 可以得到 f(0)≠0f(0)\not=0 的解 ff 使得 f(T)=0f(T)=0 。对常数项移项，我们能直接表示出 T−1T^{-1}（由关于 TT 的多项式）。由此可见，对于分块上三角的 TT，T−1T^{-1} 具有同样的分块上三角结构。下三角和对角的情况也是如此。
【5.8.3】特征多项式 是共轭不变的，由：
X⋅1n×n−P−1AP=P−1(X⋅1n×n−A)PX\cdot 1_{n\times n}-P^{-1}AP=P^{-1}(X\cdot 1_{n\times n}-A)P
易见。
**【5.8.6】**对任意 A∈Mm×n(F)A\in\mathrm{M}_{m\times n}(F) 和 B∈Mn×m(F)B\in\mathrm{M}_{n\times m}(F) 有 F(x)F(x) 中的等式：
XnCharAB=XmCharBAX^n\mathrm{Char}_{AB}=X^{m}\mathrm{Char}_{BA}
接下来完成 Cayley-Hamilton 的证明。
**【5.8.8（Cayley-Hamilton 定理）】**对一切 A∈Mn×n(F)A\in\mathrm{M}_{n\times n}(F) 皆有 CharA(A)=0n×n\mathrm{Char}_A(A)=0_{n\times n} 。
有以下推导：
CharA(A)=An+cn−1An−1+⋯+c01n×n=A(An−1+cn−1An−2+⋯+c11n×n)+(−1)ndet⁡A⋅1n×n=A(−1)n−1A\or+(−1)ndet⁡A⋅1n×n\begin{aligned} \mathrm{Char}_A(A)&=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_01_{n\times n}\\ &=A{\color{red}{(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_11_{n\times n})}}+(-1)^{n}\det A\cdot 1_{n\times n}\\ &=A{\color{blue}{(-1)^{n-1}A^{\or}}}+(-1)^{n}\det A\cdot 1_{n\times n}\\ \end{aligned}
先记 CharA(A)\mathrm{Char}_A(A) 的伴随为 ∑k=0n−1XkDk\sum\limits_{k=0}^{n-1}X^kD_k 。其中 Dk∈Mn×n(F)D_k\in\mathrm{M}_{n\times n}(F) 。而即有：
(c0+⋯+cn−1Xn−1+Xn)1n×n=(X⋅1n×n−A)∑k=0n−1XkDk(c_0+\cdots+c_{n-1}X^{n-1}+X^{n})1_{n\times n}=(X\cdot 1_{n\times n}-A)\sum_{k=0}^{n-1}X^kD_k
在 F[x]F[x] 中比较系数，整理差分，得到 D0D_0 为 (−A)\or(-A)^\or 即说明了上式替换的正确性。另一方面，可以由该等式对线性映射 T∈End(V)T\in\mathrm{End}(V) 定义 T\orT^{\or} 。
**【5.8.11】**有：
CharA−1=Xn+c1c0⋅Xn−1+⋯+cn−1c0⋅X+1c0\mathrm{Char}_{A^{-1}}=X^{n}+\frac{c_1}{c_0}\cdot X^{n-1}+\cdots+\frac{c_{n-1}}{c_0}\cdot X+\frac{1}{c_0}
由 det⁡A⋅det⁡(X⋅1n×n−A−1)=(−X)n⋅det⁡(X−1⋅1n×n−A)\det A\cdot\det(X\cdot 1_{n\times n}-A^{-1})=(-X)^{n}\cdot \det(X^{-1}\cdot 1_{n\times n}-A) 易见。

习题

【7】所有可逆 AA 可以表成 UPσVUP_{\sigma}V 的形式，其中 PσP_{\sigma} 是置换矩阵，U,VU,V 是上三角可逆矩阵。
每次选定 AA 第一列最后一个非 00 元，用初等行列变换使其为 11，且清空同行同列。所用到的矩阵均为上三角。接着对剩下的部分归纳。最后得到的矩阵自然是置换矩阵。
【9】证明：
∣cos⁡x112cos⁡x112cos⁡x⋱1⋱⋱⋱⋱1⋱2cos⁡x112cos⁡x∣=cos⁡nx\begin{vmatrix} \cos x& 1\\ 1& 2\cos x& 1\\ & 1& 2\cos x& \ddots\\ & & 1& \ddots&\ddots\\ & & &\ddots&\ddots&1\\ & & & &\ddots& 2\cos x& 1\\ & & & & &1& 2\cos x \end{vmatrix}=\cos nx
从最后一行归纳即可。得到递推式列特征方程。
【14】记 (a,b)=gcd⁡(a,b)(a,b)=\gcd(a,b) 证明：
det⁡((i,j))i,j=∏i=1nφ(i)\det ((i,j))_{i,j}=\prod_{i=1}^{n}\varphi(i)
逐行消元，利用 n=∑d∣nφ(d)n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d) 对第 nn 行消元即可。最后每行在 (i,ik)(i,ik) 上值为 φ(i)\varphi(i) 。
【20】设 F=CF=\mathbb{C} 。证明若 AB−BA=AAB-BA=A 则 AA 不可逆。
设 AA 可逆，则 B−A−1BA=1n×nB-A^{-1}BA=1_{n\times n} 。两边取迹。
【21】对所有向量空间 VV 和 A,B∈End(V)A,B\in \mathrm{End}(V)，定义 End(V)\mathrm{End(V)} 的元素 [A,B]:=AB−BA[A,B] := AB −BA.
  1. 证明若 char F=0\mathrm{char}\ F = 0 则当 VV 有限维时 [A,B]=id[A,B]=\mathrm{id} 不可能成立。
  2. 给出无穷维向量空间 VV 和 A,B∈End(V)A,B\in\mathrm{End}(V) 的例子，使得 [A,B]=id[A,B]=\mathrm{id} 。
考察迹的形式得到【1】。通过 f→xff\rightarrow xf 和 f→f′f\rightarrow f' 在 F[x]F[x] 中得到【2】的构造。
【27 - 28（Kirchhoff 矩阵-树定理）】指定 GG 的一个定向，并设 GG 联通。定义 B∈Mn×m(Q)B\in \mathrm{M}_{n\times m}(\mathbb{Q}) 为 bi,jb_{i,j} 非 00 当且仅当 eje_j 有 ii 作为端点，且始点为 ii 设为 11，终点为 ii 设为 −1-1 。不难发现 B⋅tBB\cdot{}^tB 就是所谓 Laplace 矩阵。令 B0B_0 为 BB 删去最后一行得到的矩阵，S⊆ES\subseteq E 为 n−1n-1 条边构成的子集。易知：
det⁡B0(1,⋯ ,n−1S)={0S 包含环路±1S 是树的边集\det B_0\begin{pmatrix}1,\cdots,n-1\\S\end{pmatrix}=\begin{cases}0& S\ 包含环路\\\pm 1& S\ 是树的边集\end{cases}
由此，证明生成树个数为 det⁡L0\det L_0 。
基于 Cauchy-Binet 定理有：
σ=det⁡L0=∑S⊆{1,⋯ ,m},∣S∣=n−1(det⁡B0(1,⋯ ,n−1S))2\sigma=\det L_0=\sum_{S\subseteq\{1,\cdots,m\},|S|=n-1}\left(\det B_0\begin{pmatrix}1,\cdots,n-1\\S\end{pmatrix}\right)^2
结果显然易见。更一般的情形，由于 LL 每行每列都是 00，故：
charL(X)=(−1)n−1nσ⋅X+高次项\mathrm{char}_L(X)=(-1)^{n-1}n\sigma\cdot X+高次项

六. 重访环与多项式

6.1 理想和商环

【6.1.1（理想）】设 II 为环 RR 的非空子集，II 称为 RR 的 理想 当且仅当：
  • 加法封闭：x,y∈Ix,y\in I 则 x+y∈Ix+y\in I 。
  • 乘法双边封闭：∀r∈R\forall r\in R 阶有 rI⊆I,Ir⊆IrI\subseteq I,Ir\subseteq I 。
真理想不可能是 RR 的子环：因为它不含乘法幺元 11 。
环同态的核是主理想。同理将商的概念应用过来，可以定义商环 R/IR/I 称为 RR 对理想 II 的商环。
RR 是域当且仅当它没有 {0}\{0\} 和 RR 之外的理想。因为非零理想包含形如 (x)(x) 的理想（x≠0x\not=0），而 xx 可逆意味着理想非真理想。反之，找到 x∉R\cross,x≠0x\not\in R^\cross,x\not=0 和 (x)(x) 。由此，对于 φ:F→R\varphi:F\rightarrow R 的环同态，由 ker⁡(φ)\ker(\varphi) 是 {0}\{0\} 易知 φ\varphi 是单的。

6.2 多项式的唯一分解性质

【6.2.1】对整环 RR 和 x,y∈Rx,y\in R，若有 r∈R\crossr\in R^{\cross} 使得 x=ryx=ry 则记为 x∼yx\sim y 。
另一个结果是，x∣yx\mid y 当且仅当 (y)⊆(x)(y)\subseteq (x) 。于是 x∼yx\sim y 时，(x)=(y)(x)=(y) 自然成立。在之后我们主要考虑 ∼\sim 等价类。
【6.2.3】设 pp 为整环 RR 的非零元，且 p∉R\crossp\not\in R^\cross 。
  • 若 pp 满足 p∣ab⇔(p∣a)\or(p∣b)p\mid ab\Leftrightarrow (p\mid a)\or (p\mid b)，则称 pp 为 素元 。
  • 若 pp 满足 a∣p⇔(a∼p)\or(a∼1)a\mid p\Leftrightarrow (a\sim p)\or(a\sim 1)，则称 pp 为 不可约元 。
素元必不可约。若 p=abp=ab 则 p∣ap\mid a 直接给出 a∼pa\sim p，而 p∣bp\mid b 给出 p∼bp\sim b，即存在 r∈R\crossr\in R^\cross 使得 p=rbp=rb 从而 a∼r∼1a\sim r\sim 1 。
【6.2.5（唯一分解环）】若每个 RR 中的非零元 rr 都存在不可约元 p1,⋯ ,pn∈Rp_1,\cdots,p_n\in R 使得 r∼p1⋯pnr\sim p_1\cdots p_n 。而且 p1,⋯ ,pnp_1,\cdots,p_n 计重数唯一确定，则称 RR 是 唯一分解环 。
【6.2.8】整环 F[X]F[X] 的所有理想 II 都是主理想。
【6.2.9】整环 F[X]F[X] 的所有不可约元都是素元。
设 pp 是 F[X]F[X] 的不可约元，p∣abp\mid ab 。令 f=⟨p,a⟩f=\langle p,a\rangle，从而 f∣p,f∣af\mid p,f\mid a 。因为 pp 不可约，所以 f∼1f\sim 1 或 f∼pf\sim p 。若前者成立，则 ⟨p,a⟩=F[X]\langle p,a\rangle=F[X]，故存在 px+ay=1px+ay=1 从而 p∣pxb+aby=bp\mid pxb+aby=b 指出 pp 素；若后者成立，则 f∣af\mid a 导致 p∣ap\mid a 。
上面的证明只依赖于 F[X]F[X] 是主理想环。由此可见：主理想环中，素元和不可约元等价。

6.3 主理想环的唯一分解性

【6.3.2】整环 RR 是唯一分解环当且仅当：
  • r∈R∖{0}r\in R\setminus \{0\} 都能写成不可约元的乘积。
  • 所有不可约元都是素元。
对于仅当，只要证明不可约元都是素元。由 p∣abp\mid ab 取 a,ba,b 的不可约分解。若 abab 的不可约分解中没有出现 pp，则 abp⋅p\frac{ab}{p}\cdot p 是另一个不可约分解。由此 p∣a,p∣bp\mid a,p\mid b 必然成立其一。对于当，比较两个不可约分解，由素性重排归纳 p1,q1p_1,q_1 即可。
【6.3.3（Noether 性质）】设 RR 为主理想环，(In)n=1∞(I_n)_{n=1}^{\infty} 是 RR 的一理想升链。有充分大的 nn 满足 In=In+1=⋯I_n=I_{n+1}=\cdots 。
令 I=⋃n=1∞InI=\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n，容易验证其也是理想。对应 I=(x)I=(x) 考察 xx 的出现时间即可。由此可见，主理想环中的理想升链一定会停止。
【6.3.4】主理想环一定是唯一分解环。
只用说明所有 r∈R∖{0}r\in R\setminus\{0\} 都能写成不可约元的乘积：反证，如果不存在，在约为 r=r1s1r=r_1s_1 之后，通过 (r)⊂(r1)(r)\subset (r_1) 构造理想升链，导出矛盾。
【6.3.5】主理想环中 r1,⋯ ,rnr_1,\cdots,r_n 互素当且仅当 ⟨r1,⋯ ,rn⟩=R\langle r_1,\cdots,r_n\rangle=R 。
额外说明一下 素理想：对于真理想，如果 a,b∈Ra,b\in R 且 ab∈Iab\in I，则 a∈I\orb∈Ia\in I\or b\in I 。素理想将 00 因子收集起来，使得商环成为整环，即：
【*6.3.1】R∖IR\setminus I 是整环，当且仅当 II 是素理想。
对于仅当，如果 a,b∈Ra,b\in R 且 ab∈Iab\in I，由 R∖IR\setminus I 是整环，有 (a+I)(b+I)=I(a+I)(b+I)=I 指出 a∈I\orb∈Ia\in I\or b\in I 。对于当，考察 a,b∈Ra,b\in R 使得 ab∈Iab\in I，由定义可知 a,ba,b 至少一个是 R∖IR\setminus I 的零元。
【*6.3.2】R∖IR\setminus I 是域，当且仅当 II 是极大理想。
由 R∖IR\setminus I 中没有非零真理想得出。
【6.3.6】在主理想环 RR 中，对于 t∈R∖{0}t\in R\setminus \{0\} 而且 t∉R\crosst\not\in R^\cross，以下性质等价：1. R/(t)R/(t) 是域。 2. R/(t)R/(t) 是整环。 3. tt 是素元。 4. tt 不可约。
只有 4⇒14\Rightarrow 1 不是照搬定义，不过此时 (t)(t) 是极大真理想。
【6.3.8（主理想环的中国剩余定理）】对主理想环 RR 设 a1,⋯ ,an∈R∖{0}a_1,\cdots,a_n\in R\setminus\{0\} 凉两两互素，a=a1⋯ana=a_1\cdots a_n 则有环同构：
φ:R/(a)→∏i=1nR/(ai)r+(a)→(r+(ai))i=1n\varphi:R/(a)\rightarrow \prod_{i=1}^{n}R/(a_i)\\ r+(a)\rightarrow (r+(a_i))_{i=1}^{n}
处理 n=2n=2 的情形。对于单性，由 φ(r+(a))=(0,0)\varphi(r+(a))=(0,0) 等价于 a1∣r\anda2∣ra_1\mid r\and a_2\mid r 得到 a=a1a2∣ra=a_1a_2\mid r 。对于满性，取 x1∈(a1),x2∈(a2)x_1\in(a_1),x_2\in(a_2) 使得 x1+x2=1x_1+x_2=1，则对于 rx1+rx2=rrx_1+rx_2=r 有 φ(rx1+(a))=(0,r+(a2))\varphi(rx_1+(a))=(0,r+(a_2)) 等推得满性。

6.10 从不可约多项式构造扩域

【6.10.2】设 f∈F[x]∖Ff\in F[x]\setminus F，则 1,X,⋯ ,Xdeg⁡f−11,X,\cdots,X^{\deg f-1} 对 (f)(f) 的陪集给出 F[x]/(f)F[x]/(f) 的基。
当 ff 不可约时，F[x]/(f)F[x]/(f) 是域。

七. 对角化

7.1 特征值与特征向量

【7.1.2（特征值和特征向量）】设 T∈End(V)T\in \mathrm{End}(V) 而 λ∈F\lambda\in F 。
  • 称 Vλ=ker⁡(λ⋅idV−T)V_{\lambda}=\ker(\lambda\cdot id_V-T) 为 TT 的 λ\lambda-特征子空间。若其非零空间则称 λ\lambda 为特征值。
  • 若 v∈Vλv\in V_{\lambda} 且 v≠0v\not=0 则称 vv 是 TT 的一个特征向量，以 λ\lambda 为特征值。
若可以找到一组基 v1,⋯ ,vnv_1,\cdots,v_n 均是特征向量，则 D=P−1APD=P^{-1}AP 是对角矩阵。其中 PP 以 viv_i 为列向量，DD 以 λi\lambda_i 为对角元。
CharT\mathrm{Char}_T 分裂是 TT 可对角化的必要条件。易证不同 VλV_{\lambda} 中线性无关，只需依次施加 λi,λ1\lambda_i,\lambda_1 进行归纳即可。由此，可对角化的充要条件即 ∑dim⁡Vλ=n\sum \dim V_\lambda=n 。

7.2 极小多项式

记 V[h]=ker⁡(h(T))V[h]=\ker(h(T)) 。不难发现 V[h]V[h] 是 TT-不变子空间，因为 TT 的任意幂次交换。另外，我们有 Vλ=V[X−λ]V_\lambda=V[X-\lambda] 。
【7.2.1】设 f∈F[x]f\in F[x] 分解为 f=ghf=gh，其中 g,h∈F[x]g,h\in F[x] 互素。当 T∈End(V)T\in\mathrm{End}(V) 给定，有直和分解：V[f]=V[g]⊕V[h]V[f]=V[g]\oplus V[h] 。
由互素可取 a,b∈F[x]a,b\in F[x] 使得 ag+bh=1ag+bh=1 。对任意 vv 我们有：
v=1⋅v=a(T)g(T)v+b(T)h(T)vv=1\cdot v=a(T)g(T)v+b(T)h(T)v
当 v∈V[f]v\in V[f] 时 g(T)v∈V[h]g(T)v\in V[h]，另一侧同理。故有 V[f]=V[g]+V[h]V[f]=V[g]+V[h] 。而若 v∈V[g]∩V[h]v\in V[g]\cap V[h]，则有 v=0v=0 。这个证明是个构造性证明，通过辗转相除找到 a,ba,b 即可。
【7.2.2（极小多项式）】所有使 TT 归零的多项式 h(T)h(T) 构成 F[x]F[x] 的理想 II。必然能找到 MinT\mathrm{Min}_T 使得 I=(MinT)I=(\mathrm{Min}_T) 。称之为 极小多项式 。
一个推论是 MinT\mathrm{Min}_T 和 CharT\mathrm{Char}_T 在 FF 上有相同根集。这是由于 f(T)v=f(λ)vf(T)v=f(\lambda)v 。
另一个 fact 是扩域后 MinT\mathrm{Min}_T 不变。假设 FF 是 EE 的子域，显然 MinT,E∣MinT,F\mathrm{Min}_{T,E}\mid \mathrm{Min}_{T,F} 。而只需要证明两侧 deg⁡\deg 相等。证明左侧 deg⁡\deg 不会更小是在 FF 上解线性方程组，与 EE 无关。
【7.2.7】T∈End(V)T\in \mathrm{End}(V) 在 FF 上可对角化，当且仅当 MinT\mathrm{Min}_T 分裂无重根。
由于可对角化的充要条件是 V=⨁VλiV=\bigoplus V_{\lambda_i} 。每个 VλiV_{\lambda_i} 对应的 MinT\mathrm{Min}_{T} 无非是 X−λiX-\lambda_i 。
由此产生的拓展是，当 MinT=p1e1⋯pmem\mathrm{Min}_T=p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m} 时，有：
V=V[p1e1]⊕⋯⊕V[pmem]V=V[p_1^{e_1}]\oplus \cdots \oplus V[p_m^{e_m}]

7.3 上三角化

【7.3.1（旗）】向量空间 VV 的旗为 VV 的一列子空间：
{0}⊂V0⊂⋯⊂Vm=V\{0\}\subset V_0\subset\cdots\subset V_m=V
若 m=dim⁡Vm=\dim V 则称之为完备旗。若 TT 在每个 ViV_i 上不变，则称 TT 保持此旗。
若 T∈End(V)T\in\mathrm{End}(V) 保持 VV 的一组完备旗，则 TT 在 FF 上可上三角化。
【7.3.5】T∈End(V)T\in \mathrm{End}(V) 在 FF 上可上三角化的充要条件是 CharT\mathrm{Char}_T 分裂。
必要性易见，因为 A→P−1APA\rightarrow P^{-1}AP 不改变 CharA\mathrm{Char}_A 。充分性考察 λ1\lambda_1 提取 v1v_1 特征向量，由 CharT=(X−λi)⋅CharT‾\mathrm{Char}_T=(X-\lambda_i)\cdot \mathrm{Char}_{\overline{T}} 归纳可得。其中 T‾∈End(V‾)\overline{T}\in \mathrm{End}(\overline{V})，而 V‾=V/V1\overline{V}=V/V_1 。
这个归纳过程也可作为 Cayley-Hamilton 定理的证明：设 CharT\mathrm{Char}_T 分裂，同样归纳即可。

7.4 广义特征子空间

【7.4.1（广义特征子空间）】记：
V[λ],N=V[(X−λ)N]V[λ]=⋃N>0V[λ],NV_{[\lambda],N}=V[(X-\lambda)^{N}]\\ V_{[\lambda]}=\bigcup_{N>0}V_{[\lambda],N}
则称 V[λ]V_{[\lambda]} 是 TT 相对于 λ\lambda 的 广义特征子空间 。
设 λ\lambda 在 MinT\mathrm{Min}_T 中重数为 bb，则 V[λ]=V[(X−λ)b]V_{[\lambda]}=V[(X-\lambda)^{b}] 。对于 v∈V[λ]v\in V_{[\lambda]} 使得 (T−λ⋅idV)N(v)=0(T-\lambda\cdot id_V)^N(v)=0，即取 h=gcd⁡(MinT,(X−λ)N)h=\gcd(\mathrm{Min}_T,(X-\lambda)^N)，考察 h(T)vh(T)v 得到 00 。
由此 V=⨁V[λi]V=\bigoplus V_{[\lambda_i]} 。记 λ\lambda 的 几何重数 为 dim⁡Vλ\dim V_{\lambda}，代数重数 为 dim⁡V[λi]=deg⁡CharTi=ai\dim V_{[\lambda_i]}=\deg \mathrm{Char}_{T_i}=a_i 。由此可对角化的另一个等价条件是所有 λ\lambda 的几何重数和代数重数相等。

7.5 同步对角化

【7.5.2】设 S,T∈End(V)S,T\in \mathrm{End}(V) 满足 ST=TSST=TS 。则对于所有 λ∈F\lambda\in F，相对于 TT 的特征子空间 Vλ={v∈V:Tv=λv}V_{\lambda}=\{v\in V:Tv=\lambda v\} 都是 SS-不变子空间。
即 TSv=STv=λSvTSv=STv=\lambda Sv 。因此 Sv∈VλSv\in V_{\lambda} 。
【7.5.3】S\mathcal{S} 在 FF 上可以同步对角化的充要条件，是以下两则性质成立：
  1. 每个 T∈ST\in \mathcal{S} 在 FF 上皆可对角化。
  2. 所有 T,T′∈ST,T'\in \mathcal{S} 都有 TT′=T′TTT'=T'T 。
必要性操演一下 TT′vi,T′TviTT'v_i,T'Tv_i 即可。接下来说明充分性。取 S\mathcal{S} 的极大线性无关子集 {T1,⋯ ,Tk}\{T_1,\cdots,T_k\}，只需要在该子集上论证。
由 kk 归纳，在 k≥2k\geq 2 时对于 T1T_1 有 V=⨁VλV=\bigoplus V_{\lambda} 。而 VλV_{\lambda} 是 TiT_i-不变子空间。由此定义 Tiλ=Ti∣Vλ∈End(Vλ)T_i^{\lambda}=T_i\mid_{V_{\lambda}}\in \mathrm{End}(V_\lambda) 。只用说明 TiλT_i^{\lambda} 对所有 λ\lambda 均可同步对角化，然后取直和就显然了。此时 T1λ=λ⋅idVλT_1^{\lambda}=\lambda\cdot id_{V_\lambda}，对基的选取没有限制。所以问题只涉及 T2λ⋯TkλT_{2}^{\lambda}\cdots T_{k}^{\lambda}，由此归纳。

习题

【7】对所有列向量 v,w∈Fnv,w\in F^n 确定 v⋅twv\cdot {}^tw 的特征多项式，讨论其是否可对角化。
注意有 Charv⋅tw=Xn−1Chartw⋅v\mathrm{Char}_{v\cdot {}^tw}=X^{n-1}\mathrm{Char}_{{}^tw\cdot v} 。记后者为 Xn−1(X−α)X^{n-1}(X-\alpha) 。
若 α=0\alpha=0，除非 v,wv,w 每项都为 00，则可对角化。不然由对角化定义 0n×n=P−1AP0_{n\times n}=P^{-1}AP 可知一定不能对角化。
若 α>0\alpha>0，比较 A2A^2 和 A⋅(α⋅1n×n)A\cdot (\alpha\cdot 1_{n\times n}) 的各项系数，发现两者相等，故 MinA∣X(X−α)\mathrm{Min}_A\mid X(X-\alpha) 分裂无重根，可对角化。
【11】设 VV 为有限维 R\mathbb{R}-向量空间且 V≠0V\not={0} 。而 T∈End(V)T\in\mathrm{End}(V) 。证明或者 TT 有特征向量，或者存在 22 维的 TT-不变子空间。
若 TT 没有特征向量，则 TT 没有特征值。也就是当 λ∈R\lambda\in \mathbb{R} 时 CharT(λ)\mathrm{Char}_T(\lambda) 恒不为 00 。由此 MinT\mathrm{Min}_T 在 R\mathbb{R} 上也无根。于是将 MinT\mathrm{Min}_T 写成不可约多项式的积后，每一个多项式度数都是 ≥2\geq 2 的，由此多项式个数一定小于 dim⁡V\dim V，因此存在某个多项式 p∣MinTp\mid \mathrm{Min}_T 使得 dim⁡V[p]≥2\dim V[p]\geq 2 。
【13】设 A∈Mn×n(F)A\in \mathrm{M}_{n\times n}(F) 。说明若 Tr(A)=0\mathrm{Tr}(A) = 0 而且 char(F)=0\mathrm{char}(F) = 0，则存在 A′=(aij′)i,j∈Mn×n(F)A' = (a'_{ij})_{i,j} \in \mathrm{M}_{n\times n}(F) 使得：
A 共轭于 A′,a11′=⋯=ann′=0A\ 共轭于\ A',\quad a'_{11}=\cdots=a'_{nn}=0
可设 n≥2n\geq 2，取 v∈Fn∖{0}v\in F^n\setminus\{0\} 使得 v,Avv,Av 不成比例且 AvAv 非 00。若取不到这样的 vv，则说明有某个 λ\lambda 使得 AA 可对角化成对角元均为 λ\lambda 的矩阵，λ≠0\lambda\not=0 显然矛盾，而 λ=0\lambda=0 指出 A=0n×nA=0_{n\times n}，无需讨论。
由此 v,Avv,Av 非零且线性无关。将其扩充为 FnF^n 的有序基 v\mathrm{v} 。记 B=(v1∣⋯∣vn)B=(\mathrm{v}_1\mid\cdots\mid \mathrm{v}_{n}) 则 B−1ABB^{-1}AB 就是换基为 v\mathrm{v} 的矩阵写法。此时：
(B−1AB)11=∑i∑jB1i−1AijBj1=∑iB1i−1Bi2=0\begin{aligned} (B^{-1}AB)_{11}&=\sum_{i}\sum_jB^{-1}_{1i}A_{ij}B_{j1}\\ &=\sum_{i}B^{-1}_{1i}B_{i2}=0 \end{aligned}
于是由此归纳进 n−1n-1 的情况即可。
【17】设 A=(A11=a,A22=b)∈M2×2(R)A=(A_{11}=a,A_{22}=b)\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})，其中 a≠b,a<0a\not=b,a<0 。证明不存在 B∈M2×2(R)B\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbb{R}) 使得 B2=AB^2=A 。
有 CharA=(X−a)(X−b)\mathrm{Char}_A=(X-a)(X-b) 。扩域使得 CharB\mathrm{Char}_B 分裂，根为 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2，即有 λ12=a,λ22=b\lambda_1^2=a,\lambda_2^2=b 。由此可见 λ1=i−a\lambda_1=i\sqrt{-a}，由于 CharB∈R[X]\mathrm{Char}_B\in \mathbb{R}[X]，有 λ2=−i−a\lambda_2=-i\sqrt{-a} 与 λ1\lambda_1 共轭。而 λ22=a≠b\lambda_2^2=a\not=b 。由此导出矛盾。
【18】证明 CharA\or=∏i=1n(X−αi)\mathrm{Char}_{A^\or}=\prod_{i=1}^{n}(X-\alpha_i) 。其中 αi\alpha_i 为 ∏λj\prod \lambda_j 忽略 λi\lambda_i 。
由之前的结论有 A\orA^\or 可以表示为 f(A)f(A)（其中 f∈F[x]f\in F[x] 。参见 Cayley-Hamilton 定理的证明）。于是将 AA 上三角化为 P−1APP^{-1}AP 有 (P−1AP)\or=P−1A\orP(P^{-1}AP)^{\or}=P^{-1}A^{\or}P 。只要解决 AA 是上三角矩阵的问题即可。此时 A\orA^\or 也是上三角的，对角元正好就是 αi\alpha_i 。
【19】记 AA 为在下次对角线上为 11 的矩阵，其余为 00 。说明 AA 不可能共轭于分块对角矩阵 BB（以任意规格方阵 C,DC,D 为对角元）。
记 V=FnV=F^n 看作 T∈End(V)T\in\mathrm{End}(V) 选定基 e1⋯ene_1\cdots e_n 。AA 即将 eie_i 映到 ei−1e_{i-1}（i≥2i\geq 2）。
现在要声明的是，不可能通过换基为 v\mathrm{v} 的方式，使得 P=(v1∣⋅∣vn)P=(\mathrm{v}_1\mid\cdot\mid\mathrm{v}_n) 让 P−1AP=BP^{-1}AP=B 。 即 BB 意为 VV 可被拆成两个 TT-不变子空间的不交直和，不妨记为 V1,V2V_1,V_2，这样 v\mathrm{v} 由 V1,V2V_1,V_2 的基得到。
而 TT 实际的映法是将 (a1,a2,⋯ ,an)(a_1,a_2,\cdots,a_n) 映到 (a2,⋯ ,an,0)(a_2,\cdots,a_n,0) 。在 V1,V2V_1,V_2 中各取一个基元素 v1,v2v_1,v_2，记他们最后一个非 00 元为 α,β\alpha,\beta，则 α⋅βα=β\alpha\cdot\frac{\beta}{\alpha}=\beta 从而导出 βαv1,v2\frac{\beta}{\alpha}v_1,v_2 在各自进行有限次 TT 的映射后，得到相同的结果。这与 V1,V2V_1,V_2 不交矛盾。
【21】设 A,B∈Mn×n(F)A,B\in \mathrm{M}_{n\times n}(F) 。若它们的特征多项式皆分裂，且 AB=BAAB=BA，则它们可以同步上三角化。
考察 AA 的特征向量满足 Av=λvAv=\lambda v 。由 {v,Bv,B2v,⋯ }\{v,Bv,B^2v,\cdots\} 张成的空间，都是 AA 的 λ\lambda-特征向量。而该空间是 BB-不变子空间，于是必然存在一个 BB 的特征向量位于其中。
由此 A,BA,B 一定有一个共同的特征向量 vv。将 V=FnV=F^{n} 化成 V1=⟨v⟩V_1=\langle v\rangle 和 V2=V/V1V_2=V/V_1 后，执行上三角化的过程归纳即可。

八. 双线性形式

8.1 双线性形式

【8.1.4（典范配对）】取 W=V\orW=V^\or 定义 V\orV^\or 和 VV 之间的典范配对为：
V\or×V⇒(λ,v)→λ(v)V^{\or}\times V\quad \Rightarrow\quad (\lambda,v)\rightarrow \lambda(v)
对此，线性映射 T:V→WT:V\rightarrow W 的转置 tT:W\or→V\or{}^tT:W^\or\rightarrow V^\or 可以改写定义为：
⟨tT(λ),v⟩=λ(Tv)=⟨λ,Tv⟩\langle ^tT(\lambda),v\rangle=\lambda(Tv)=\langle \lambda,Tv\rangle
【8.1.5】对任意 FF-向量空间 VV 和 WW，有向量空间的同构：
Hom(W,V\or)→∼Bil(V,W;F)[w→B(⋅,w)]←Bφ→[B(v,w)=⟨φ(w),v⟩]\mathrm{Hom}(W,V^\or)\stackrel{\sim}\rightarrow \mathrm{Bil}(V,W;F)\\ [w\rightarrow B(\cdot,w)]\leftarrow B\\ \varphi\rightarrow [B(v,w)=\langle \varphi(w),v\rangle]
另一个方向亦然。如果考虑更一般的 Bil(V,W;X)\mathrm{Bil}(V,W;X) 则将 V\orV^\or 替换为 Hom(V,X)\mathrm{Hom}(V,X) 即可。论证无异。
双线性形式和矩阵等价。在 V=Fn,W=FmV=F^n,W=F^m 下以 B(v,w)=tvAwB(v,w)={}^tvAw 构成与 A∈Mn×mA\in\mathrm{M}_{n\times m} 的同构。由此，双线性形式的直和对应的矩阵，其实是各项矩阵作对角元的分块对角矩阵。
【8.1.12（正交空间）】对 B:V×W→FB:V\times W\rightarrow F 定义任何子空间 W0⊂WW_0\subset W 的正交空间为：
⊥W0={v∈V:∀w0∈W0,B(v,w0)=0}{}^\perp W_0=\{v\in V:\forall w_0\in W_0,B(v,w_0)=0\}
另一个方向有：
V0⊥={w∈W:∀v0∈V0,B(v0,w)=0}V_0^\perp=\{w\in W:\forall v_0\in V_0,B(v_0,w)=0\}
由双线性可以观察到 ⊥W0{}^\perp W_0 是 VV 的子空间；另一方面，易得 W0⊂(⊥W0)⊥W_0\subset ({}^\perp W_0)^{\perp} 。另一方向同理。而在 BB 对称 / 反对称时，两侧正交空间相同，不妨统一记为 V0⊥V_0^\perp 。

8.2 非退化形式与伴随映射

【8.2.1】定义 BB 的 左根 为 VV 的子空间 ⊥W={v∈V:B(v,⋅)=0}{}^\perp W=\{v\in V:B(v,\cdot)=0\} 。另一方向同理。当 V,WV,W 均为有限维且左右根均为零空间，则称 BB 非退化 。
当 BB 对称 / 反对称时，左右根相等。
典范配对是非退化的：对于左根，λ(v)=0\lambda(v)=0 恒成立按定义 λ\lambda 就是 00 映射。对于右根，将 v≠0v\not=0 扩充为基，有 v1=vv_1=v，则 vˇ1(v)=1\check v_1(v)=1 。
另一方面，根据 8.1.5 给出的同构，设 BB 对应到 ψ∈Hom(V,W\or)\psi\in\mathrm{Hom}(V,W^\or) 以及 φ∈Hom(W,V\or)\varphi \in\mathrm{Hom}(W,V^\or)，则 BB 的左根为 ker⁡(ψ)\ker(\psi)，右根为 ker⁡(φ)\ker(\varphi) 。当 V,WV,W 均为有限维向量空间时，易见 BB 非退化的必要条件是 dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W 。
【8.2.4】在 dim⁡V=dim⁡W\dim V=\dim W 时，BB 非退化的判定只用确定一侧根为 {0}\{0\} 。
即若 BB 的左根为 {0}\{0\} ，有 ψ\psi 是单射。从维度的角度看，ψ\psi 是同构。设 w∈Ww\in W 属于右根，亦即 ψ(v)\psi(v) 总是属于 ⊥⟨w⟩={λ∈W\or:λ(w)=0}{}^\perp\langle w\rangle=\{\lambda\in W^\or:\lambda(w)=0\} 。当 w≠0w\not=0 时 ⊥⟨w⟩≠W\or{}^\perp\langle w\rangle\not=W^\or，由 ww 扩充基得到对偶基可以看出。于是与同构矛盾。
对应到矩阵上，充要条件即为 AA 可逆。
【8.2.8（伴随映射）】考虑双线性映射 Bi∈Bil(Vi,Vi′;F)B_i\in\mathrm{Bil}(V_i,V'_i;F) 其中 i=1,2i=1,2，所有向量空间均为有限维，并假设 B1B_1 非退化。
  • 存在唯一线性映射：
    Hom(V1,V2)→Hom(V2′,V1′)⇒T→T∗\mathrm{Hom}(V_1,V_2)\rightarrow \mathrm{Hom}(V'_2,V'_1)\quad\Rightarrow\quad T\rightarrow T^*
    称 T∗T^* 为 TT 相对于 B1,B2B_1,B_2 的右伴随，由下式刻画：
    B2(Tv1,v2′)=B1(v1,T∗v2′)B_2(Tv_1,v'_2)=B_1(v_1,T^*v_2')
  • 左伴随同理定义为 ∗T^*T 。
固定 v2′v'_2 时，映射 B2(T(⋅),v2′)B_2(T(\cdot),v'_2) 给出 V1\orV_1^\or 的元素。因为 B1B_1 非退化，对应某个同构 ψ∈Hom(V1′,V1\or)\psi\in\mathrm{Hom}(V'_1,V_1^\or) 。由此有唯一存在的 v1′v_1' 使得 T∗T^* 映 v2′v_2' 为 v1′v_1' 。
当 B1,B2B_1,B_2 均非退化时，易见 (∗T)∗=T=∗(T∗)({}^*T)^*=T={}^*(T^*) 。
上面的例子化为矩阵，有 T∗=A1−1⋅tT⋅A2T^*=A_1^{-1}\cdot {}^tT\cdot A_2 。可以直接通过矩阵操演得到。
取 V1=V2=V,V1′=V2′=V′,T=idVV_1=V_2=V,V'_1=V'_2=V',T=id_V 得到特例：任意双线性形式 B2B_2 和非退化双线性形式 B1B_1（当然两者都属于 Bil(V,V′;F)\mathrm{Bil}(V,V';F)）都仅差一个线性映射。
伴随的行为类似转置。另一方面，对于非退化双线性形式 Bi:Vi×Vi→FB_i:V_i\times V_i\rightarrow F 对称 / 反对称时，总有 T∗=∗TT^*={}^*T 。这个可以通过操演 B2(v2,Tv1)=B1(T∗v2,v1)B_2(v_2,Tv_1)=B_1(T^*v_2,v_1) 得到。
对于 T∈End(V)T\in \mathrm{End}(V) 和对称 / 反对称的 B:V×V→FB:V\times V\rightarrow F 。如果 T∗=TT^*=T，则称 TT 是 自伴 的；如果 T∗=−TT^*=-T，则称 TT 是 反自伴 的。
【8.2.17】设 B:V×W→FB:V\times W\rightarrow F 非退化，则：
dim⁡V0⊥+dim⁡V0=dim⁡V,dim⁡⊥W0+dim⁡W0=dim⁡W\dim V_0^\perp+\dim V_0=\dim V,\quad \dim {}^\perp W_0+\dim W_0=\dim W
以下给出左侧式论证。记 d=dim⁡V0,n=dim⁡V=dim⁡Wd=\dim V_0,n=\dim V=\dim W 。取 V0V_0 的基 v1,⋯ ,vdv_1,\cdots,v_d 。为了证明 V0⊥V_0^\perp 是 n−dn-d 维的，从 corner case 入手：先设 d=nd=n，由此 BB 非退化导致 V⊥={0}V^\perp=\{0\} 。
其次设 d=1d=1 。因为 BB 非退化，且 v1≠0v_1\not=0 。故 B(v1,⋅):W→FB(v_1,\cdot):W\rightarrow F 不恒为 00，它必然满。从而 ⟨v1⟩⊥=ker⁡(B(v1,⋅))\langle v_1\rangle^\perp=\ker(B(v_1,\cdot)) 的维数是 n−1n-1 。
两侧维数差为 n−1n-1 。而由 dim⁡⟨v1⟩⊥=n−1\dim \langle v_1\rangle^\perp=n-1 和不等式：
dim⁡(W1∩W2)=dim⁡W1+dim⁡W2−dim⁡(W1+W2)≥dim⁡W1+dim⁡W2−n\begin{aligned} \dim(W_1\cap W_2)&=\dim W_1+\dim W_2-\dim (W_1+W_2)\\ &\geq \dim W_1 + \dim W_2-n \end{aligned}
推得 dim⁡V0⊥\dim V_0^\perp 恰好为 n−dn-d 。由此 VV 有直和分解 V0⊕V0⊥V_0\oplus V_0^\perp 。

8.3 分类问题的提出

双线性形式 Bi:Vi×Vi→FB_i:V_i\times V_i\rightarrow F 之间的同构意为找到向量空间之间的同构 φ∈Hom(V1,V2)\varphi\in\mathrm{Hom}(V_1,V_2) 使得 B2(φ(v),φ(v′))=B1(v,v′)B_2(\varphi(v),\varphi(v'))=B_1(v,v') 。同构继承几乎所有性质，包括左右根的映射、是否退化、对称与反对称性。
在对称 / 反对称时，记 R(V)R(V) 为 BB 的 根基，我们有直和分解 V=R(V)⊕KV=R(V)\oplus K 导致：
(V,B)=(R(V),0)⊕(K,B)(V,B)=(R(V),0)\oplus(K,B)
使得 BB 限制在 KK 上时非退化。
【8.3.8（矩阵合同）】设 A,A′∈Mn×n(F)A,A'\in \mathrm{M}_{n\times n}(F)，若存在可逆 C∈Mn×n(F)C\in\mathrm{M}_{n\times n}(F) 使得 A=tCA′CA={}^tCA'C，则称 AA 和 A′A' 合同 。
以 Vi=FnV_i=F^n 为例，CC 正是 φ\varphi 。同构的两个 (V,B)(V,B) 分别对应 A,A′A,A' 。

8.4 二次型的基本概念

【8.4.1（nn 元二次型）】域 FF 上的 nn 元齐次二次多项式，称为 nn 元二次型：
f=∑i=1naiiXi2+∑1≤i<j≤n2aijXiXjf=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}X_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}X_iX_j
由此得到一个对称矩阵。于是 nn 元二次型、nn 阶对称矩阵、B:Fn×Fn→FB:F^n\times F^n\rightarrow F 的对称双线性形式，构成双射。
留意到 f(v)=B(v,v)f(v)=B(v,v)，此后 f(v1+v2)f(v_1+v_2) 可由线性拆开，即得到 B(v1,v2)=12(f(v1+v2)−f(v1)−f(v2))B(v_1,v_2)=\frac{1}{2}(f(v_1+v_2)-f(v_1)-f(v_2)) 。
二次型的同构即，若令 Y=CXY=CX，则 f(X)=tXtCA′CX=tYA′Y=f′(Y)f(X)={}^tX{}^tCA'CX={}^tYA'Y=f'(Y) 。

8.5 配方法

【8.5.1（二次型的对角化）】任何 nn 元二次型都同构于形如 a1X12+⋯+anXn2a_1X^{2}_1+\cdots+a_nX^2_n 的对角二次型。
对 nn 归纳。不妨设 aija_{ij} 不全为 00，不然无事可做。此时找到 aii≠0a_{ii}\not=0，适当重排令 a11≠0a_{11}\not=0，则：
f=a11(X1+1a11∑j=2na1jXj)2+∑2≤i,j≤naijXiXj−1a11(∑j=2na1jXj)2f=a_{11}\left(X_1+\frac{1}{a_{11}}\sum_{j=2}^{n}a_{1j}X_j\right)^2+\sum_{2\leq i,j\leq n}a_{ij}X_iX_j-\frac{1}{a_{11}}\left(\sum_{j=2}^{n}a_{1j}X_j\right)^2
由此变量替换 X1X_1，这是可逆的。
不然，设 i<ji<j 使得 aij≠0a_{ij}\not=0，令 Yi=Xi−XjY_i=X_i-X_j 和 Yk=XkY_k=X_k 的变量替换，由此 Yj2Y_j^2 的系数恰好是 aij≠0a_{ij}\not=0 。

8.6 实二次型的分类

若 B(v,v)≥0B(v,v)\geq 0 对所有 v∈Vv\in V 成立，则称 BB 是 半正定 的。若只有 B(0,0)=0B(0,0)=0，则其是 正定 的。由此推有 半负定、负定、不定 。
对规范型 X1+⋅+Xp−Xp+1−⋅−Xp+qX_1+\cdot+X_p-X_{p+1}-\cdot-X_{p+q} 记 pp 为 正惯性指数，q=r−pq=r-p 为 负惯性指数，p−q=2p−rp-q=2p-r 为 符号差 。

习题

【2】设 VV 和 WW 是 nn 维 FF-向量空间，B:V×W→FB:V\times W \rightarrow F 是非退化双线性形式。证明对于任意有序基 w1,⋯ ,wn∈Ww_1,\cdots,w_n\in W，存在唯一的有序基 v1,⋯ ,vn∈Vv_1,\cdots,v_n\in V 使得 B(vi,wj)=[i=j]B(v_i,w_j)=[i=j] 。
考虑 B′B' 为 W\or×W→FW^\or\times W\rightarrow F 非退化。取 T=idWT=id_W 可知存在唯一 ∗T^*T 使得 B′(λ,w)=B(∗Tλ,w)B'(\lambda,w)=B({}^*T\lambda,w) 。在 B′B' 上有序基是唯一的，由对偶基定义给出。由此由 ∗T^*T 隐射得到的 VV 的有序基是唯一的。
【11】考虑 R\mathbb{R}-向量空间 V=RnV=\mathbb{R}^n 及其上的二次型 ff 。
  1. 设 ff 可以表成 f+−f−f_+-f_- 。其中 f±f_\pm 都是半正定二次型，正惯性指数分别为 p,qp,q 。证明 ff 的正惯性指数 ≤p\leq p，负惯性指数 ≤q\leq q 。
  2. 证明若二次型 ff 可以表成
    f=L12+⋯+Lp2−Lp+12−⋯−Lp+q2f=L_1^2+\cdots+L_p^2-L_{p+1}^2-\cdots-L_{p+q}^2
    其中 L1,⋯ ,Lp+qL_1,\cdots,L_{p+q} 是 Rn\mathbb{R}^n 上的一次型。则 ff 的正惯性指数 ≤p\leq p，负惯性指数 ≤q\leq q 。
记 ff 的正惯性指数为 p′p' 。存在 p′p' 维子空间 U′U' 使得 ff 在 U′U' 上正定。存在 n−pn-p 维子空间 UU 使得 f+f_+ 在 UU 上半负定。假若 p′>pp'>p 则说明 U,U′U,U' 有非零向量交 vv，此时 0<f(v)≤f+(v)≤00<f(v)\leq f_+(v)\leq 0 矛盾。
取 L1,⋯ ,Lp+qL_1,\cdots,L_{p+q} 的极大线性无关组，将它们扩充为 VV 的基。设在 [1,p][1,p] 中取出 p′p' 个，[p+1,p+q][p+1,p+q] 中取出 q′q' 个，显然 p′≤p,q′≤qp'\leq p,q'\leq q 。此时 f(q′)<0f(q')<0 恒成立，剩下的基有 f(⋅)=0f(\cdot)=0 。故正惯性指数 ≤p′≤p\leq p'\leq p 。分析 −f-f 可以得到 ff 的负惯性指数 ≤q\leq q 。

九. 实内积结构

9.2 内积空间

【9.2.1（实内积空间）】实向量空间 VV 上的 内积 意指正定对称双线性形式 (⋅∣⋅):V×V→R(\cdot|\cdot):V\times V\rightarrow \mathbb{R} 。称资料 (V,(⋅∣⋅))(V,(\cdot|\cdot)) 为 实内积空间，本章简称 内积空间 。
与标准内积的情形类似，我们约定：
  • v∈Vv\in V 的长度为 ∥v∥=(v∣v)\lVert v\rVert=\sqrt{(v|v)} 。因此 ∥tv∥=∣t∣⋅∥v∥\lVert tv\rVert=|t|\cdot \lVert v\rVert，其中 t∈Rt\in \mathbb{R} 。
  • 若 v,w∈Vv,w\in V 满足 (v∣w)=0(v|w)=0 则称它们 正交，记为 v⊥mv\perp m 。
【9.2.2（勾股定理）】若 v,wv,w 正交，有：
∥v+w∥2=∥v∥2+∥w∥2\lVert v+w\rVert^2=\lVert v\rVert^2 + \lVert w\rVert^2
这是源于：
(v∣w)=12(∥v+w∥2−∥v∥2−∥w∥2)(v|w)=\frac{1}{2}(\lVert v+w\rVert^2-\lVert v\rVert^2-\lVert w\rVert^2)
将双线性形式对应当矩阵 AA，亦即 (v∣w)=tvAw(v|w)={}^tvAw 。此时 A=tAA={}^tA，矩阵 AA 称为当前有序基的 Gram 矩阵 。
【9.2.3（Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz 不等式）】对任意 v,w∈Vv,w\in V 皆有：
(v∣w)2≤(v∣v)(w∣w)(v|w)^2\leq (v|v)(w|w)
等式成立当且仅当 v,wv,w 线性相关。
线性相关的情形容易验证。线性无关时，v+twv+tw 对任意 t∈Rt\in \mathbb{R} 皆非零，于是正定性导致 0<(v+tw∣v+tw)0<(v+tw|v+tw) 恒成立。将其展开看作关于 tt 的二次多项式，其无实根，故由判别式可以得出上述结论。
【9.2.4（三角不等式）】对任意 v,w∈Vv,w\in V 皆有：
∥v+w∥≤∥v∥+∥w∥\lVert v+w\rVert\leq \lVert v\rVert+\lVert w\rVert
等号成立当且仅当存在 t≥0t\geq 0 使得 v=tw\orw=tvv=tw\or w=tv 。
∥v+w∥2=∥v∥2+∥w∥2+2(v∣w)≤∥v∥2+∥w∥2+2∣(v∣w)∣≤∥v∥2+∥w∥2+2∥v∥⋅∥w∥\begin{aligned} \lVert v+w\rVert^2&=\lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2(v|w)\\ &\leq \lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2|(v|w)|\\ &\leq \lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2\lVert v\rVert\cdot\lVert w\rVert\\ \end{aligned}
于是等号成立的充要条件是 v,wv,w 线性相关，且 (v∣w)≥0(v|w)\geq 0 。这等价于 v,wv,w 相差一个非负的比例常数。
【9.2.6】以 ∥w−v∥\lVert w-v\rVert 作 v,wv,w 之间的 距离 。对内积空间 (V,(⋅∣⋅)V)(V,(\cdot|\cdot)_V) 和 (W,(⋅∣⋅)W)(W,(\cdot|\cdot)_W)，若线性映射 φ:V→W\varphi:V\rightarrow W 对所有 v∈Vv\in V 皆满足 ∥φ(v)∥W=∥v∥V\lVert \varphi(v)\rVert_W=\lVert v\rVert_V，则称 φ\varphi 保距 。
因为 φ(v)=0\varphi(v)=0 等价于 ∥φ(v)∥W=0\lVert \varphi(v)\rVert_W=0，故保距映射一定单。而内积可以通过长度表达，故保距映射也保内积 (φv1∣φv2)W=(v1∣v2)V(\varphi v_1|\varphi v_2)_W=(v_1|v_2)_V 。
正交空间的同构，即存在一对保距线性映射左右组合皆为恒等映射。

9.3 Gram-Schmidt 正交化

【9.3.2】正交向量族线性无关。
即考察正交向量组 SS，若有线性关系 ∑ass=0\sum a_ss=0 。对每个 t∈St\in S，考察 (∑ass∣t)(\sum a_ss|t) 均可以得到 at=0a_t=0 。
选定单位正交基，给出了有限维内积空间到 Rn\mathbb{R}^n 的标准内积的同构。
【9.3.5（Gram-Schmidt 正交化）】设 VV 中的一族向量 v1,v2,⋯v_1,v_2,\cdots 线性无关，令：
w1=v1,wk=vk−∑i=1k−1(vk∣wi)(wi∣wi)⋅wiw_1=v_1,\quad w_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(v_k|w_i)}{(w_i|w_i)}\cdot w_i
则 w1,w2,⋯w_1,w_2,\cdots 是正交向量族。处理过后得到单位正交基。且对于 k≥1k\geq 1，w1,⋯ ,wkw_1,\cdots,w_k 与 v1,⋯ ,vkv_1,\cdots,v_k 的张成空间总是相当。

9.4 正交补与正交直和分解

【9.4.1（正交补）】设 SS 为内积空间 VV 的任意子集，命：
S⊥={v∈V:∀s∈S,(s∣v)=0}S^\perp=\{v\in V:\forall s\in S,(s|v)=0\}
我们称 S⊥S^\perp 为 SS 的正交补。
易见 S⊥S^\perp 是子空间。
对于 VV 的有限维子空间 V0V_0，有直和分解 V=V0⊕V0⊥V=V_0\oplus V_0^\perp 。即取 v1,⋯ ,vmv_1,\cdots,v_m 为 V0V_0 的单位正交基，则任意 v∈Vv\in V 有唯一分解：
v=∑i=1m(vi∣v)vi+v−∑i=1m(vi∣v)viv=\sum_{i=1}^{m}(v_i|v)v_i+v-\sum_{i=1}^{m}(v_i|v)v_i
前者可谓 vv 在 V0V_0 上的 正交投影 。Gram-Schmidt 正交化的过程，正是将 vkv_k 减去它在前缀张成高维空间上的正交投影，从而达成正交的效果。
【9.4.6】对于 v∈Vv\in V，距离 ∥u−v∥,u∈V0\lVert u-v\rVert,u\in V_0 取到最小值当且仅当 uu 是 vv 在 V0V_0 上的正交投影。
即将 vv 写作 v0+v1v_0+v_1 分属 V0,V0⊥V_0,V_0^\perp 两维的投影：
∥u−v∥2=∥(u−v0)−v1∥2=∥u−v0∥2+∥v1∥2≥∥v1∥2\lVert u-v\rVert^2=\lVert (u-v_0)-v_1\rVert^2=\lVert u-v_0\rVert^2+\lVert v_1\rVert^2\geq \lVert v_1\rVert^2
等号成立当且仅当 u=v0u=v_0 。

9.5 内积空间上的伴随映射和正交变换

【9.5.1】线性映射 T:V→WT:V\rightarrow W 是内积空间的同构，当且仅当 T∗=T−1T^*=T^{-1} 。
【9.5.3（正交变换）】有限维内积空间 (V,(⋅∣⋅)V)(V,(\cdot|\cdot)_V) 的自同构称为 VV 上的 正交变换 。
【9.5.4（正交矩阵）】对于矩阵 A∈Mn×n(R)A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) 为 正交矩阵，以下性质等价：
  1. tAA=1n×n{}^tAA=1_{n\times n } 。
  2. AtA=1n×nA{}^tA=1_{n\times n } 。
  3. 视作 Rn\mathbb{R}^n 到自身的线性映射，AA 相对于标准内积是正交变换。
由于标准内积表为 (v,w)=twv(v,w)={}^twv 。将 AA 视同线性映射 Rn→Rn\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n，其伴随映射为 tA^tA 。而 9.5.1 说明此时 tA=A−1{}^tA=A^{-1} 。
【9.5.7（QR 分解）】任何可逆矩阵 A∈Mn×n(R)A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) 都能表作 A=QRA=QR 。其中 QQ 是正交矩阵，RR 是可逆上三角矩阵。
记 A=(v1∣⋯∣vn)A=(v_1\mid\cdots\mid v_n) 。相当于存在可逆上三角矩阵 R′R' 作 RR 的逆使得 Q=AR′Q=AR' 是正交矩阵。不过 R′R' 是自动可逆的，因为 A,QA,Q 皆可逆。只用以 Gram-Schmidt 正交化过程的系数填写 R′R' 即可。
【9.5.9（正交投影算子）】P∈End(V)P\in\mathrm{End}(V) 是某个子空间 V0V_0 的正交投影算子当且仅当：
P∗=P,P2=PP^*=P,\quad P^2=P
此时 V0=im(P)V_0=\mathrm{im}(P) 。
对于仅当的方向，将 v∈Vv\in V 唯一表示成 v0+v1v_0+v_1，则 P2=PP^2=P 易于验证。而：
(Pv∣v′)=(v0∣v′)=(v0∣v0′)=(v∣v0′)=(v∣Pv′)(Pv|v')=(v_0|v')=(v_0|v'_0)=(v|v'_0)=(v|Pv')
说明 P∗=PP^*=P 。
对于当的方向。对 v∈Vv\in V 分解为 v=Pu+v1v=Pu+v_1，其中 u∈V,v1∈V0⊥u\in V,v_1\in V_0^\perp 。则 Pv=Pu+Pv1Pv=Pu+Pv_1 。而考察 (Pv1∣Pv1)=(P∗Pv1∣v1)=0(Pv_1|Pv_1)=(P^*Pv_1|v_1)=0，由此 Pv1=0Pv_1=0，因此 Pv=PuPv=Pu 。便说明了 PP 是向 V0V_0 的正交投影算子。

9.6 自伴算子的正交对角化

【9.6.1】设 T∈End(V)T\in \mathrm{End}(V) 而 V0V_0 是 VV 的 TT-不变子空间，则 V0⊥V_0^\perp 是 T∗T^*-不变子空间。
即对于 w∈V0⊥,v∈V0w\in V_0^\perp,v\in V_0 都有 (T∗w∣v)=(w∣Tv)=0(T^*w|v)=(w|Tv)=0 。
【9.6.2（正交对角化：自伴情形）】设 T∈End(V)T\in\mathrm{End}(V) 自伴，则存在 VV 的单位正交基 v1,⋯ ,vnv_1,\cdots,v_n 使得每个 viv_i 都是 TT 的特征向量。
对 n=dim⁡Vn=\dim V 归纳，假设 n≥2n\geq 2 。将 TT 看作矩阵 A∈Mn×n(R)A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R}) 有 A=tAA={}^tA 。
先认为 AA 有特征值 λ1∈R\lambda_1\in\mathbb{R} 。取出对应特征向量 v1v_1 使得 ∥v1∥=1\lVert v_1\rVert=1（仅放缩）。考虑正交直和分解 V=⟨v1⟩⊕⟨v1⟩⊥V=\langle v_1\rangle\oplus \langle v_1\rangle^\perp 。而由 TT 自伴，TT 在 ⟨v1⟩,⟨v1⟩⊥\langle v_1\rangle,\langle v_1\rangle^\perp 上均不变！由此导出对角化。
以矩阵语言表达。即取单位正交基 v1,⋯ ,vnv_1,\cdots,v_n 为列向量的矩阵 PP，则 PP 是正交矩阵。定理的结论相当于给出矩阵对角化：P−1APP^{-1}AP 其中 tP=P−1^tP=P^{-1} 。
【9.6.4】设 A∈Mn×n(C)A\in \mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C}) 满足 †A=cA{}^\dagger A=cA，其中 c∈Cc\in\mathbb{C} 。则 AA 的所有特征值 λ∈C\lambda\in \mathbb{C} 都满足 λ‾=cλ\overline{\lambda}=c\lambda 。
设 vv 是以 λ\lambda 为特征值的特征向量。对 †v⋅(Av)=λ⋅(†vv){}^\dagger v\cdot(Av)=\lambda\cdot({}^\dagger vv) 两边取 †(⋯ )^\dagger(\cdots) 。左侧给出 cλ(†vv)c\lambda({}^\dagger v v)，右侧给出 λ‾(†vv)\overline{\lambda}({}^\dagger vv) 。
故此说明扩域至 C\mathbb{C} 时，由 c=1c=1 导出自伴矩阵的所有特征值均 ∈R\in\mathbb{R} 。
在 (V,(⋅∣⋅))(V,(\cdot|\cdot)) 上与二次型 (V,B)(V,B)，能找到 VV 的单位正交基 v1,⋯ ,vnv_1,\cdots,v_n 使得 BB 对应的对称矩阵 B(vi,vj)B(v_i,v_j) 是对角矩阵：将 BB 等同于矩阵 AA，在内积空间上将 AA 正交对角化后讨论系数即可。

习题

【1】考虑配备标准内积的 Rn\mathbb{R}^n 。对有序基 v1,⋯ ,vn∈Rnv_1,\cdots,v_n\in \mathbb{R}^n 取其 Gram 矩阵 AA 。证明 {∑tivi:∀i,ti∈[0,1]}\{\sum t_iv_i:\forall i,t_i\in[0,1]\} 的体积是 det⁡A\sqrt{\det A} 。
从标准内积到 vv 的基为内积空间的同构，其矩阵形式是 P=(v1∣⋯∣vn)P=(v_1\mid\cdots\mid v_n) 。即以映为 (v∣w)=Pv⋅Pw=tvtPPw(v|w)=Pv\cdot Pw={}^tv{}^tPPw 。故 A=tPPA={}^tPP 而所求为 ∣det⁡P∣|\det P| 。
【3】实对称正定矩阵的逆仍然是实对称正定矩阵。
进行正交对角化 tCAC=D^tCAC=D 后两侧取逆 tCA−1C=D−1{}^tCA^{-1}C=D^{-1} 对角元仍然正。
【5】证明 nn 阶实对称矩阵 Aij=min⁡{i,j}A_{ij}=\min\{i,j\} 正定。
以 Sylvester 判准，求每个顺序主子式时，直接消元成上三角从而导出行列式 >0>0 。

往年期末

21 期末

【1】设 A∈Mn×n(C)A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C}) 满足 A2=AA^2=A 。证明 AA 的迹等于 AA 的秩。
即 x(x−1)x(x-1) 是令 AA 归零的多项式，故 MinT(A)∣x(x−1)\mathrm{Min}_T(A)\mid x(x-1) 。
若 MinT(A)=x(x−1)\mathrm{Min}_T(A)=x(x-1)，则 AA 可上三角化为 (0∗1)\begin{pmatrix}0& *\\&1\end{pmatrix} ，秩和迹均为 11 ；若 MinT(A)=x\mathrm{Min}_T(A)=x，则 AA 为零矩阵，自然成立；MinT(A)=x−1\mathrm{Min}_T(A)=x-1 不存在，剩下的情况即 AA 为 12×21_{2\times2}，自然成立。
【3】设 A∈Mm×n(R)A\in \mathrm{M}_{m\times n}(\mathbb{R})，证明 tAA{}^tAA 在 C\mathbb{C} 中的特征值都是非负实数。
注意 t(tAA)=tAA{}^t({}^tAA)={}^tAA 。故 tAA{}^tAA 是实对称矩阵。可选出 Rn\mathbb{R}^n 的单位正交基 v1,⋯ ,vnv_1,\cdots,v_n 均为 tAA{}^tAA 的特征向量，作正交对角化。由于系数均在 R\mathbb{R} 中，因此对角元都是实数。
非负等价位 tAA{}^tAA 半正定。即对任何 vv 有 tvtAAv≥0{}^tv{}^tAAv\geq 0 。
【7】设 A,B∈Mn×n(R)A,B\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R})，BB 是对称矩阵，k∈Z≥1k\in\mathbb{Z}_{\geq 1} 是奇数。证明如果 ABk=BkAAB^k=B^kA 则 AB=BAAB=BA 。
BB 可对角化。任何使 BB 对角化的 PP 都能使 BkB^k 对角化。
BkB^k 可对角化。对任何 BkB^k 的特征值 λ,v\lambda,v 有 Bkv=λvB^kv=\lambda v 故 Bv=λ1kvBv=\lambda^{\frac{1}{k}}v 。由于 kk 是奇数，定义是良性的。故任何使 BkB^k 对角化的 PP 都能使 BB 对角化。
在 C\mathbb{C} 上，A,BkA,B^k 可同步对角化。用同样的矩阵，也可以对角化 BB 。从而 AB=BAAB=BA 。

22 期末 A

【1】设 AA 是 n×nn\times n 整系数矩阵。说明 AA 可逆而且 A−1A^{−1} 也是整系数矩阵的充要条件是 det⁡A=±1\det A=\pm1 。
充分由 Cramer 法则。必要由 det⁡(A)=1/det⁡(A−1)\det(A)=1/\det(A^{-1}) 。

其他题

正定矩阵对角元 11 行列式 11 。
用 trace 比较。

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