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题解：AT_arc205_b [ARC205B] Triangle Toggle

lliyuan2023
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@minyrhbb
此快照首次捕获于
2025/12/02 10:33
3 个月前
此快照最后确认于
2025/12/02 10:33
3 个月前
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ARC205_B Triangle Toggle

问题陈述

有一个完整的图，图中有 nn 个顶点，编号为 11 至 nn 。每条边的颜色为黑色或白色。对于 i=1,2,…,mi=1,2,\ldots,m ，连接顶点 UiU_i 和 ViV_i 的边被涂成黑色，其他所有的边都被涂成白色。
您可以执行以下操作零次或多次。
  • 选择满足 1≤a≤b≤c≤N1\leq a\leq b\leq c\leq N 的整数 (a,b,c)(a,b,c) ，并将以下三条边分别重新涂色：白色涂成黑色，黑色涂成白色。
    • 连接顶点 aa 和 bb 的边
    • 连接顶点 bb 和 cc 的边
    • 连接顶点 aa 和 cc 的边
请找出在进行适当操作时最多可以被涂成黑色的边的数量。
[!NOTE]
  • 3≤n≤2×1053\leq n\leq 2\times 10^5
  • 0≤m≤2×1050\leq m\leq 2\times 10^5
  • 1≤Ui<Vi≤N1\leq U_i < V_i\leq N
  • (Ui,Vi)≠(Uj,Vj)(U_i , V_i) \neq (U_j , V_j) (i≠j)(i \neq j)

思路

首先考虑 m=0m=0 时的最优解

1. nn 为奇数

当顶点数为 nn 时的最优解为 f(n)f(n) ，则需由 f(n)f(n) 推导 f(n+2)f(n+2) 。
新加入的两个顶点与其余的 nn 个顶点都能构成三角形，但是新加入的两顶点之间的边重复计算 nn 次。
因为 nn 为奇数，所以两顶点之间的边最终为黑色，
所以最后增加的黑色边数为 2n+12n+1 。
f(n+2)=f(n)+2n+1(n为奇数)f(n+2)=f(n)+2n+1\quad(n为奇数)

2. nn 为偶数

同理：新加入的两个顶点与其余的 nn 个顶点都能构成三角形。
但是因为 nn 为偶数，所以两顶点之间的边经过偶数次计算后为白色，
所以增加的黑色边数为 2n2n 。
f(n+2)=f(n)+2n(n为偶数)f(n+2)=f(n)+2n\quad (n为偶数)
显然: f(3)=3,f(4)=4f(3)=3,f(4)=4 。
整理可得：
f(n)=n(n−1)2(n为奇数)f(n)=n(n−2)2(n为偶数)f(n)=\frac{n(n-1)}{2}\quad (n为奇数) \\ f(n)=\frac{n(n-2)}{2}\quad (n为偶数)

其次考虑 m≠0m\ne 0 的情况

其实就是在 m=0m=0 时的最优解上进行修改
重点来了！！！
对于 𝑛 为奇数来说，每一个顶点已经和剩下的 𝑛−1𝑛−1 个顶点连接一条黑边，
所以每多一条边相连，答案就减一。
但是我们可以通过若干次操作，把一条链式路径化简到一条边（以下称为极简路径），或者把一条环形路径化简为零，从而把损失降到最低。
对于 𝑛 为偶数来说，每一个顶点已经和剩下的 𝑛−1𝑛−1 个顶点中的 n−2n-2 个顶点连接一条黑边，
所以一个顶点最多再与一个顶点连一条黑色的边。
一条环形路径的每一条边对答案都有一个贡献 +1 或 -1 ，
由于每个顶点已经连接 n−2n-2 条黑色边，所以贡献为 +1 的边会使两个顶点处于“满载”情况，
此时无论这两个顶点的另一条边连接到哪，这两条边的贡献都为 -1 ，
所以每一条贡献为 +1 的边的两旁一定为两条贡献为 -1 的边，
显然，环形路径对答案的贡献一定小于等于 0 ，所以需通过若干次操作化简为零；
一条链式路径的每一条边对答案的贡献规律同上，
可以证明总体贡献小于等于 +1 ，
但是可以通过若干次操作获得一条贡献为 +1 的极简路径，
所以一条链式路径对答案的贡献恒为 +1 。
综上所述，我们需要求出极简路径数量，并消除所有环形路径。

赛时代码(AC)

CPP
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,m,f[N],sum;
signed main(){
	cin>>n>>m;
	while(m--){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		if(f[u]==v&&f[v]==u){
			f[u]=f[v]=0;
		}//消除环
		else if(!f[u]&&!f[v]){
			f[u]=v,f[v]=u;
		}
		else if(!f[u]&&f[v]>0){
			f[u]=f[v];
			f[f[v]]=u;
			f[v]=0;
		}
		else if(!f[v]&&f[u]>0){
			f[v]=f[u];
			f[f[u]]=v;
			f[u]=0;
		}
		else{
			f[f[u]]=f[v];
			f[f[v]]=f[u];
			f[u]=0,f[v]=0;
		}
        //获取极简路径
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(f[i]>0){
			sum++;
		}
	}
	if(n%2==0){
		cout<<n*(n-2)/2+sum/2;
	}
	else{
		cout<<n*(n-1)/2-sum/2;
	}
    //分类计算
	return 0;
}
完结撒花！！！
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