海伦公式证明

已知 $\$ $\varDelta ABC\$ 三边边长分别为 $\ a,b,c\$ ，半周长为 $\ s$ 。

求证： $S_{\varDelta ABC}$ = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}。$

前铺芝士

1.平方差公式

(a-b)^2=(a-b)(a+b)

证明：

\because (a-b)(a+b) = a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2

\therefore a^2-b^2=(a-b)(a+b)

2.完全平方公式

(1)完全平方和：

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

证明：

已知一个大正方形的边长为

\ a+b

，最小的正方形的边长为

\ a

，较大的正方形的边长为

\ b

。

$a^2$	$\ \ \ \ ab\ \ \ \$
$ab$	$\ b^2\$

\therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(2)完全平方差：

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

证明：

已知一个大正方形的边长为

\ a

，小正方形的边长为

\ b

。

$b^2$	$\ \ \ \ (a-b)b\ \ \ \$
$(a-b)b$	$(a-b)^2$

\therefore (a-b)^2=a^2-b^2-(a-b)b-(a-b)b=a^2-b^2-ab+b^2-ab+b^2=a^2-2ab+b^2

3.勾股定理

在

\ Rt{\varDelta ABC}\

中，若两条直角边长

\ a,b

，斜边长

\ c

，则有

\ a^2+b^2=c^2

。

设

\ \varDelta ABC\

的高为

\ h

，交

\ AC\

于点

\ d

。

记

\ Bd=x

，则

\ Cd=c-x

。

由勾股定理可得

\ h^2=a^2-x^2=b^2-(c-x)^2

\begin{aligned} \therefore a^2-x^2 &= b^2-(c-x)^2\\ a^2-x^2 &= b^2-c^2+2cx+x^2 \end{aligned}

得

\ x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}

由勾股定理可得

\begin{aligned} h^2 &= a^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c})^2\\ h &= \sqrt{a^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c})^2} \end{aligned}

\begin{aligned} S_{\varDelta ABC} &= \frac{1}{2}\cdot ch\\ &= \frac{1}{2}\cdot c \cdot \sqrt{a^2-(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c})^2}\\ \end{aligned}

把

\ \frac{1}{2c}\

提出来

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\cdot c^2 \sqrt{a^2-(a^2+c^2-b^2)^2}\\ \end{aligned}

再把

\ c^2\

乘进去

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(2ac)^2-(a^2+c^2-b^2)^2}\\ \end{aligned}

平方差公式：

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\sqrt{(2ac+a^2+c^2-b^2)(2ac-a^2-c^2+b^2)}\\ &= \frac{1}{4}\sqrt{(a^2+2ac+c^2-b^2)(a^2-2ac+c^2+b^2)}\\ \end{aligned}

完全平方公式：

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\sqrt{[(a+c)^2-b^2][(a-c)^2+b^2]}\\ \end{aligned}

平方差：

\begin{aligned} &= \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)}\\ &= \sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a-b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}} \end{aligned}

\because s=\frac{a+b+c}{2}

\therefore S_{\varDelta ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

得证

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