题解：P13617 [ICPC 2025 APC] Bit Counting Sequence

容易发现 $a_p-a_{p-1} \leq 1$，否则一定无解。因此开始分类讨论。

对于 $a_p = a_{p-1} +1$，那么说明 $x+p-1$ 是奇数。

否则说明 $a_{p-1}$ 后面有 $a_p - a_{p-1} +1$ 是 $1$，同时从小往大的第 $a_p - a_{p-1} +2$ 是 $0$。

也就是说，我们现在有若干个限制，每个限制形如 $x + i -1$ 最后的若干位为 $1$，前面还强制有一个 $0$。因此，不妨设 $k$ 为 $a$ 中最大值所处的位置，那么我们可以知道 $x+p-1$ 一定是 $11\dots11011\dots1$（一共有 $a_k$ 个 $1$），这是因为前面的位置不会再影响正确性了，所以直接在最前面紧凑地填上 $1$。

然后就判断一下这个数是否满足条件就可以了。

唯一的特殊情况是 $k = n$ 时，答案为 $2^{a_n}-n$，自证不难。