人话

听说大家想要 一个有趣的小结论！ 的人话版本？

题：有两个迷宫，每个迷宫都有初始点。迷宫的格子有三种状态：地、墙、海。保证只有有限个格子不是海。保证初始点是地。你可以操纵一对一开始都在初始点的人，不断尝试向特定方向（上、下、左、右）走（每次走可以走不同的方向），如果目标格子是地就走到目标格子，如果目标格子是墙就不动，如果目标格子是海就掉进海里永远也回不来了，不会进行接下来的操作。请判两个人沿着任何方向序列走都无法使得其中一个掉进海里，另一个仍然在地上（称为本质相同）的充要条件。

结论：无非是两个人永远都走不到海，或是探索区域和它的边界以初始点平移相同，或是探索区域都是长方形，四边外面是墙还是海分别相同，且一组对边全是墙，另一组对边到起点的距离分别相等。

证明：考虑假设不是前两种情况，证出第三种情况成立。由于探索区域（或其边界）并不相同，不妨假定一开始就存在一步使得对应方向的格子状态不同。不妨设该方向为右。显然只能一个是地，一个是墙。那么向右一直走，显然走到的第一个非地必须是墙，且路上的格子都和卡墙的格子本质相同，因此它们都本质相同。显然本质相同的格子走到海的最短方案必须是一样的，否则某个最短方案就能区分它们。而且这个最短方案必须是上上下下的，否则那一整条线上的某个格子走完是另一个格子走之前的位置，拼一下就说明不最短了。因此不妨假设最短方案是一直向上。

到这里就证出来了原文中第一个图示的结果，可以对比一下确认是否理解。接下来证明右侧边界必然是墙。显然不能是海，而如果是地的话可以走到那里，下面是墙，而没走到的下面没有墙，向下走就可以错开位置，继续向上就可以区分开。因此我们确定了右上角的形态，回到另一个迷宫中是类似的。

然后初始点向左第一个到达的非地也必须是墙，如果是海那就区分出来了。因此类似可以确定左上角的状态，而且说明了初始点在两个迷宫的这两排所有点本质相同。

考虑这些点向下走遇见的第一个非地，如果有不同的那就区分出来了，因此必然全都相同。而且距离也必须全都相同——不然的话，如果都是海那就向下走以区分，如果都是墙就向下走到头，这样离上边界的距离不同，向上走就可以区分出来。接下来左右两侧是墙的推导就和之前一致了。证毕。

有一些细节参考原文。