P12130 [蓝桥杯 2025 省 B] 移动距离 题解

从 $(0,0)$ 到 $(233,666)$，只允许水平向右移动或以原点为中心旋转，求最短路至整数。

本题可以证明，只回头一次一定不劣（证明放在下面了）。
准确来说，回头几次都无所谓，但是一次好算啊！
所以，我们可以先求 x 轴上距离（就是我们第一次要走的），再走弧即可到达。

首先，初始位置在原点，第一步只能是水平移动（圆周移动需半径非零）。水平移动到目标点所在圆后，沿圆周移动是唯一直接到达的方式。

其次，若尝试先水平移动到更小半径再圆周移动，需额外水平移动调整，总距离反而更长。例如，水平移动至较小半径 r，再圆周移动至某点后水平移动，计算表明总距离必然超过结论距离。

最后，通过数学验证，水平移动到 R 后沿圆周移动的总距离为最小值。其他组合方式（如多次交替移动）会引入冗余路径，无法更优。

那么，我们把这个题分成两部分：

可以看出这个距离就是原点到坐标 $(233,666)$ 的距离。
根据勾股定理，可得距离 D 为：

$D=\sqrt{233^2+666^2} ≈ 705.51$。

根据弧的长度公式，弧长

$l = \frac{\theta\pi R}{180}$。

问题来了，$\theta$ （圆周角）是多大？
这时反三角函数就登场了！

$\arctan()$ 是反正切，这里贴上百度对反正切的定义：

arctan是Arctangent的缩写，指反正切函数，它是数学术语，属于反三角函数之一，是正切函数 $y = \tan x$ 的反函数。简单来说，它是一种求逆的运算，就如同乘法的逆运算是除法一样。

综上，我们可以算出，

$\theta=\arctan(666/233)=\arctan(2.85837) ≈ 70.7176$。

带入公式，得弧长

$l = \frac{70.7176\times705.5\times3.1416}{180} = 870.76887$。

总长 $D+l = 870.8 + 705.5 = 1576.3$。
这里取整 $1576$。

代码：

#include<iostream>
int main(){
    std::cout<<"1576";
}

其实这题用 $\arcsin()$ 也可以做，还有泰勒展开。
如果都不会，$\sin()$ 无限逼近也可以。