浅谈一种猜整多项式的有理数根的方法

众所周知，遇到 $\geq 3$ 次的多项式要求因式分解时，我们通常都需要用猜根的方法。

首先我们设 $f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$，其中 $a_n \neq 0$。

若 $a_0=0$ 显然 $0$ 是一个根，所以下面假设 $a_0 \neq 0$。

下面考虑怎么求 $f(x)$ 的一个整数根，设整数根为 $x_0$。

对于任意整数 $r$ 满足 $f(r) \neq 0$，即不为 $f(x)$ 的根，那么我们有 $(x_0-r) \mid f(r)$。

下面证明一下，因为 $x_0$ 是 $f(x)$ 的整数根，所以存在整多项式 $g(x)$ 满足 $g(x)(x-x_0)=f(x)$。

代入即可得 $f(r)=g(r)(r-x_0)=-g(r)(x_0-r)$，因为 $g(r)$ 是整数且不为 $0$，所以 $(x_0-r) \mid f(r)$。

这时我们令 $r=0$，即可得到 $x_0 \mid a_0$，即整数解 $x_0$ 总是 $a_0$ 的因数。

只需要枚举 $O(d(a_0))$ 个解即可。

现在我们已经会解决整数根了，现在考虑解决有理数。

现在设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个有理根（注意与上文的定义不同了）。

那么 $f(x_0)=0$，展开一下就是 $\sum_{i=0}^na_i{x_0}^i=0$。

我们考虑直接将两边模上 $x_0$，即可得 $a_0 \equiv 0 (\bmod \ x_0)$，即 $\frac{a_0}{x_0} \in \Z$。

考虑直接换元，设 $x_0=\frac{a_0}{y},y \in \Z^*$。

那么我们可以得到 $\sum_{i=0}^na_i(\frac{a_0^i}{y^i})=0$。

同乘 $y^n$ 得 $\sum_{i=0}^na_ia_0^iy^{n-i}=0$，然后就可以变成求整数根了，因为 $y$ 是整数。

这时候我们可以拿到 $y \mid a_na_0^n$。

其实就是 有理根定理 的弱化版，但是这是在做数学作业的时候想出来的。

回机房搜到了有理根定理，发现关于 $y$ 的结论可以再简化成 $\frac{y}{\gcd(y,a_0)} | a_n$。