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题解：P10668 BZOJ2720 [Violet 5] 列队春游

ccogimyun
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2025/12/02 05:07
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2025/12/02 05:07
3 个月前
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[列队春游] 题解

题意

给定整数序列 aa，对于随机排列 pp，求 ∑fi\sum f_i 的期望。
对于位置 ii，fif_i 定义为最小的 xx，满足对于任意位置 j,1≤x≤j≤ij,1 \leq x \leq j \leq i，均有 apj≤apia_{p_j} \leq a_{p_i}。
数据范围：ai,n≤107a_i, n \leq 10^7。

题解

设 xi+1x_i + 1 为第 ii 位的贡献，我们要求的是 ∑E(xi+1)\sum \mathbb{E}(x_i + 1)。
这等价于求： xi=∑j<i[aj≤ai 并且 j 到 i 之间的数都小于等于 ai]x_i = \sum_{j<i} [a_j \leq a_i \text{ 并且 } j \text{ 到 } i \text{ 之间的数都小于等于 } a_i]
枚举小于 aia_i 的数，则： xi=∑k<aiPkx_i = \sum_{k<a_i} P_k 其中 PkP_k 表示数 kk 对 ii 产生贡献的概率。
通过古典概型的方法求出 PkP_k。假设有 ss 个小于 aia_i 的数，将 kk 和 aia_i 绑在一起，先不考虑其他的 s−1s-1 个小于 aia_i 的数，有 (n−s)!(n-s)! 种排列，然后再将剩下 (s−1)(s-1) 个数插进来。故概率为：
(n−s)!Ans−1n!=1n−s+1\frac{(n-s)! A_n^{s-1}}{n!} = \frac{1}{n-s+1}
因此： xi=sn−s+1x_i = \frac{s}{n-s+1}
对于每个数分别求出 xix_i 即可。

算法步骤

  1. 读入 nn 和数组 aa
  2. 对 aa 排序，得到每个 aia_i 的排名，从而得到 sis_i（严格小于 aia_i 的数的个数）
  3. 计算 ∑i=1n(1+sin−si+1)\sum_{i=1}^n \left(1 + \frac{s_i}{n-s_i+1}\right)
  4. 输出结果

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(nlog⁡n)O(n \log n)
  • 空间复杂度：O(n)O(n)

代码实现要点

  • 注意处理重复元素的情况
  • 使用双精度浮点数计算期望值并且输出时保留两位小数

CODE

CPP
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,h[305];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>h[i];
	sort(h+1,h+1+n);
	long double ans=0,pre=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(h[i]!=h[i-1])
			pre=i-1;
		ans+=pre/(n-pre+1);
		ans++;
	}
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans;
	return 0;
}

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