那场 whk 启发了我的 24 点

upd：添加了大量内容。

取材自真实事件，修改幅度很小，只有少数是我想出来的/kk

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正文开始。

$3\ 3\ 8\ 8$ 凑 $24$ 点。标准解法 $8\div(3-8\div3)$，很正常，但也很无聊。于是我们考虑将规则扩充到允许使用更多符号，但是不允许添加新数字（特别地，普通（二次）根号允许直接使用，但更高次根号需要用已有的数写在根号上）。这样的规则扩充幅度很小，对吧，连新的数字都不让用。

扩充之后首先想到的当然是根号。观察到 $3\times3\times8\times8=24^2$，于是可以 $\sqrt{3\times3\times8\times8}=24$ 或者 $3\times3\times\sqrt{8+8}=24$，但是这样还是太不牛了。

引入阶乘。阶乘在 $24$ 点中很有用，因为 $24=4!$。这个性质在下面也有应用。本题有多种利用阶乘的解法，例如 $8\times3!-8\times3=(8-3)!\div(8-3)=3!\times(3+8\div8)=24$，并上三次根号可再得 $(\sqrt[3]{8}\times\sqrt[3]{8})!=24$ 或者 $(\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{8})!=24$，但是这样普适性依然不强，怎么办？

真神求导出场。在 $24$ 点游戏中所有数均为常数，因此它们的导数均为 $0$。传统 $24$ 点中时常出现只有 $\le3$ 个数字就能凑出点数，但却有多的情况，很麻烦，现在利用导数就能把他们扔了，例如本题可以 $3\times8+(3\times8)'=24$，其中括号内的符号可以是什么都行，反正求导都为 $0$。

事实上，我们再深入思考一下就可以得到通解做法。之前说过 $4!=24$，而 $24$ 点恰好要用 $4$ 个数，我们只需要处理一下每个数使其为 $1$，再相加套阶乘即可。而利用导数可以把任意数变成 $0$，又惊人地观察到 $0!=1$，问题就解决了。写成柿子就是，对于 $a,b,c,d$，$((a')!+(b')!+(c')!+(d')!)!=24$，这其实只是在经典恒等式 $(0!+0!+0!+0!)!=24$ 上进行了一点推广。甚至还可以利用它实现无穷组通解，因为 $1!=1$，只要不断地套阶乘即可，即把 $(a')!$ 换成 $(((a')!)!)!\cdots$，不过比较无聊。数学课本上说导数是数学史上的一次革命，现在看来它也是 $24$ 点史上的一次革命。

其实也有别的东西可以实现扔掉多余部分的效果，例如 Dirchlet 函数。先用其中一些数凑出 $24$，然后对剩余部分随便列式，如果为有理数就用答案乘或者除他（$\times/\div1$），如果无理数就用答案加或者减它（$+/-0$）。利用这个也能实现通解，因为 $0$ 和 $1$ 的阶乘都是 $1$（普通 $24$ 点中只会给正整数，但既然扩展了规则，就不妨把定义域也扩展到实数），所以 $(D(a)!+D(b)!+D(c)!+D(d)!)!=24$，同理也能实现无穷组通解。真是惊人的突破！

还有更多发展方向，比如利用集合，集合可以方便地将每个元素转换成 $1$。$(|\{3,\sqrt{3},8,\sqrt{8}\}|)!=|\{3\}|\times|\{8\}|\times3\times8=(|\{8,\sqrt{8}\}|)^3\times3=|\{3,\sqrt{3},8\}|\times8=24$。

把集合的概念扩展到多重集就提供了第三种通解思路。我们注意到，如果没有重复元素，直接 $(|\{a,b,c,d\}|)!=24$ 即可，如果有两个重复元素，可以通过套根号防止重复（例如上一段中多个例子），但如果有三个以上就没办法了。这时应用多重集就解决了问题：通解 $(|[a,b,c,d]|)!=24$。

也可以利用数论函数。数论函数多而且繁杂，不过普适性没那么强，在本题中可以 $\mathrm{lcm}(3,3,8,8)=3\times8+3\times\mu(8)=3\times8+v_3(8)=24$。

本文远未完结。随便举个例子，后续可能的发展方向还有：

重振 $24$ 点荣光，我辈义不容辞！