生成函数相关的

定义（？）

泰勒展开式

不带 $e$ 的：

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$$ $$\frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+\dots$$ $$\frac{1}{1-x^3}=1+x^3+x^6+\dots$$ $$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\dots$$ $$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+\dots$$

带 $e$ 的：

$$e^x=1+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ $$e^{-x}=1-\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\dots$$ $$\frac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$$ $$\frac{e^x-e^{-x}}{2}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots$$

广义二项式定理

$$\frac{1}{(1-x)^n}=\sum^{\infty}_{i=0}C^i_{n+i-1}x^i$$